Beweis mit Hilfe der Log und exp-Funktion

09.01.2008, 11:37

aRo

Beweis mit Hilfe der Log und exp-Funktion

Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\sqrt[n]{n!} }= \infty \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\sqrt[n]{n!} }= \infty = \lim_{n \to \infty} {e^{\frac{1}{n}\cdot log(n!)} } \end{eqnarray*}$

Betrachtet wird der Exponent, der gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen sollte.

1. Mir fehlt eine geeignete Abschätzung für das Ding.
2. Wenn ich es durch Umformungen versuche, stoße ich auf etwas merkwürdiges:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \cdot log(n!) = \frac{log(1 \cdot 2 \cdot 3 ..\cdot (n-1) \cdot n)}{n}=\frac{log(1)+log(2)+log(3)+...+log(n)}{n} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gehen alle Summanden bis auf den letzen gegen 0.
Betrachten wir also $\begin{eqnarray*} \frac{log(n)}{n} \end{eqnarray*}$ . Aus einer vorigen Aufgabe folgt allerdings, dass dies auch gegen 0 geht.

Damit geht mein ganzer Exponent gegen 0, was ich aber gar nicht mag traurig

Wo steckt mein Fehler und was wäre eine geeigente Abschätzung?

Danke euch!

09.01.2008, 11:47

WebFritzi

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Dein Fehler:

$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)\cdot\dots\cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right). \end{eqnarray*}$

Jeder Faktor geht gegen 1. Also geht alles gegen 1. OK, dann nochmal die additive Variante:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n}{n^2}. \end{eqnarray*}$

Jeder Summand geht gegen Null. Also geht alles gegen Null. Dabei wissen wir aber

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{n^2 + n}{n^2} = \frac{1}{2}\left( 1 + \frac{1}{n}\right) \longrightarrow \frac{1}{2}\neq 0. \end{eqnarray*}$

09.01.2008, 11:55

aRo

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hmm...verstehe. Danke dir für das gute Beispiel.

Wie ist die Aufgabe dann zu lösen?

09.01.2008, 12:07

Tomtomtomtom

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Die Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel müßte gehen, das ist eine halbe Zeile.

09.01.2008, 12:42

WebFritzi

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Allgemein gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ eine monoton steigende Folge positiver Zahlen ist, dann strebt der Mittelwert

$\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$

gegen $\begin{eqnarray*} \infty. \end{eqnarray*}$

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ fest. Dann gilt für $\begin{eqnarray*} n\ge N: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k = \frac{1}{n}\left( \sum_{k=1}^N x_k + \sum_{k=N+1}^n x_k\right) \ge \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^N x_k + (n-N)x_N\right) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^N x_k + \frac{n-N}{n}x_N =: b_n^{(N)}. \end{eqnarray*}$

Offenbar gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}b_n^{(N)} = x_N \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} a_n \ge x_N. \end{eqnarray*}$ Da N beliebig war, folgt die Behauptung aus der Monotonie von $\begin{eqnarray*} (x_k). \end{eqnarray*}$

09.01.2008, 13:34

tmo

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Zitat:

Original von WebFritzi
Allgemein gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ eine monoton steigende, unbeschränkte Folge positiver Zahlen ist, dann strebt der Mittelwert

$\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$

gegen $\begin{eqnarray*} \infty. \end{eqnarray*}$

ich hab mal das entscheidende hinzugefügt Augenzwinkern

09.01.2008, 15:22

WebFritzi

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Jo, sorry. Ersetze im Text "monoton (steigend)" stets mit "monoton steigend und unbeschränkt". Danke für den Hinweis.

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