monotonie

09.01.2008, 12:34

gabbo

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monotonie

hallo,

untersuchen sie die folge mit dem allgemeinen glied $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{7n+8}{9n+10} \end{eqnarray*}$ auf monotonie.

jetzt hab ich mir das so vorgestellt...aber mehr oder weniger von einem anderen beispiel übernommen.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7(n+1)+8}{9(n+1)+10}-\frac{7n+8}{9n+10}>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7n+15}{9n+19}-\frac{7n+8}{9n+10}>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(7n+15)(9n+10)-(7n+8)(9n+19)}{(9n+19)(9n+10)}>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7}{(9n+19)(9n+10)}>0 \end{eqnarray*}$

ist das so richtig????? ehrlich gesagt habe ich keine ahnung mehr was überhaupt los ist, ich versuche so viel wie möglich zu verstehen, aber es wird langsam zu komplex und unübersichtlich, da diese fernlernbücher der letzte sch... sind!!!

verwirrt

verwirrt

09.01.2008, 13:51

klarsoweit

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RE: monotonie
Erstmal mußt du dich entscheiden, welche Form der Montononie (also steigend oder fallend) du zeigen willst. Du hast dich mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n > 0 \end{eqnarray*}$ implizit für steigende Monotonie entschieden. Du kannst ja mal die ersten 3 Folgenglieder ausrechnen und überlegen, ob das sein kann. Dann würde mich noch interessieren, wie du zum Schluß auf die 7 in dem Zähler gekommen bist?

10.01.2008, 09:55

gabbo

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yo, das hab ich schon vorher gemacht!! und ich habe 0, weil ja nur die menge N gilt, als untere schranke festgelegt!! deshalb >0.

somit müsste das ja richtig sein!!

verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 10:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
yo, das hab ich schon vorher gemacht!! und ich habe 0, weil ja nur die menge N gilt, als untere schranke festgelegt!! deshalb >0.

Hää?

verwirrt

Ob eine Folge positive oder negative Werte hat, sagt nichts darüber aus, ob sie monoton steigend oder fallend ist. Und bitte sehr, nenne mir doch mal die ersten 3 Folgenglieder. Und die Frage, wie du auf die 7 im Zähler des Term der linken Seite der letzten Ungleichung kommst, ist auch noch offen.

10.01.2008, 11:55

gabbo

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hier,

0=8/10=0,8

1=15/19=0,789

2=22/28=0,785

3=29/37=0,783

monoton fallend!!!! geschockt

geschockt

die 7 kommt daher, wenn ich alles kürze bleibt nur (7n+15)-(7n+8) 7n-7n=0 und 15-8=7.

verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 12:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
die 7 kommt daher, wenn ich alles kürze bleibt nur (7n+15)-(7n+8) 7n-7n=0 und 15-8=7.

Schade, daß du deine Rechenschritte nicht genauer aufschreibst. Man könnte dir direkter und schneller helfen und bräuchte nicht zehnmal nachfragen.

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10.01.2008, 12:08

gabbo

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ja so ist das nunmal, schade das die sprache in mathematikbüchern so steif und unverständlich ist, aber so ist das halt.

so, jetzt muss ich beweisen, daß die folge monoton fallend ist, ob ich da mit meinem >0 noch richtig liege, keine ahnung!!!

besser ist wohl :

$\begin{eqnarray*} \frac{7(n+1)+8}{9(n+1)+10}<\frac{7n+8}{9n+10} \end{eqnarray*}$ aber weiter weiss ich nun auch nicht!!

verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 12:32

klarsoweit

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Wie wäre es, wenn du einfach mal mit den Nennern multiplizierst?

Und was diese 7 angeht: ich wollte eigentlich nur sagen, daß diese Zahl falsch ist und hatte mich daher für deine Rechnung interessiert. Aber am besten lassen wir das jetzt. Rechne lieber mit der Ungleichung von deinem letzten Beitrag weiter.

10.01.2008, 13:53

gabbo

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ausmultiplizieren, ok

das geht auch bei < , dachte da müsste + oder - vorhanden sein??

na gut,

$\begin{eqnarray*} \frac{7(n+1)+8}{9(n+1)+10}\cdot9n+10<\frac{7n+8}{9n+10}\cdot9(n+1)+10 \end{eqnarray*}$

und nun???

10.01.2008, 13:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} \frac{7(n+1)+8}{9(n+1)+10}\cdot9n+10<\frac{7n+8}{9n+10}\cdot9(n+1)+10 \end{eqnarray*}$

Erstens bist du sehr sparsam mit Klammern und zweitens verschwinden die Nenner, da du ja gerade mit diesen multipliziert hast.

Also so wäre es richtig:

$\begin{eqnarray*} (7(n+1)+8) \cdot (9n+10) < (7n+8) \cdot (9(n+1)+10) \end{eqnarray*}$

Und jetzt Klammern ausmultiplizieren und weiter zusammenfassen.

Ehrlich gesagt wundere ich mich schon etwas, daß du jeden kleinen Mini-Schritt anfragst und in fast jeden Schritt mindestens noch einen Fehler einbaust. Was machst du bloß, wenn du mal eine Klausur schreibst? verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 14:26

gabbo

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deas ist meine klausur!!! fernlernen ist das bei mir und sowas ist nicht zu empfehlen, wirklich nicht!!!!! und fragen kann ich da niemanden, ausser ich möchte meine antwort eine woche später haben.

$\begin{eqnarray*} (7(n+1)+8)\cdot(9n+10)<(7n+8)\cdot(9(n+1)+10) \end{eqnarray*}$

ich mach das gleich muss jetzt n bisschen arbeiten!! der kopf qualmt!!

verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 14:36

klarsoweit

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Auch Abschreiben will gelernt sein. Zu dem, was ich geschrieben habe, gibt es einen kleinen, aber feinen Unterschied. smile

smile

10.01.2008, 15:50

gabbo

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jetzt ist alles vorbei, das ausklammern bekomme ich irgendwie nicht auf die reihe und müssen beim ausmultiplizieren zweier brüche nicht auch die nenner miteinander multipliziert werden??????????????

verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 16:43

gabbo

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so, das ausklammern geht voll in die hose.
ich versuche es gerade mit einem beispiel aus dem buch bei dem ich weiss das 2 herauskommt.

(2n+2)(n+1)-2n(n+2)

2n+2*n+2n+2*1-2n*n+2n*2

2n+2n+2n+2-2n²+4n

6n-2n²+4n

so kommen da keine 2 zustande, ich werde mich mal nen bisschen mit ausklammern beschäftigen müssen!!!!

verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 18:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
2n+2*n+2n+2*1-2n*n+2n*2

Das stimmt natürlich nicht. Du mußt konsequent jedes Element der ersten Klammer mit jedem Element der zweiten Klammer multiplizieren bzw. den Faktor vor der Klammer mit jedem Element in der Klammer multiplizieren. Dabei auch auf das Vorzeichen achten. Das gehört zu dem jeweiligen Element fest dazu.

10.01.2008, 18:43

gabbo

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so, festhalten, denn so hab ich die klammern aufgelöst!!

$\begin{eqnarray*} \frac{63n²+205n+150}{81n²+261n+190}<\frac{63n²+205n+152}{81n²+261n+190} \end{eqnarray*}$

so, ich habe die nenner jetzt dazugenommen, obwohl es bei grösser oder kleiner egal ist ob man beide seiten durch die gleiche zahl teilt, das ändert ja am verhältnis nichts.

nur frage ich mich, warum ich beide seiten ausmultiplizieren muss?? reicht es denn nicht wenn man schreibt an>an+1????????
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
und so würde mein erster versuch richtig aussehen!!!!(denk ich mal), aber das beweist doch auch, daß wenn ich an+1-an rechne, ich das ergebnis <0 bekomme und somit ist die folge monoton fallend.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7(n+1)+8}{9(n+1)+10}-\frac{7n+8}{9n+10}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7n+15}{9n+19}-\frac{7n+8}{9n+10}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(7n+15)(9n+10)-(7n+8)(9n+19)}{(9n+19)(9n+10)}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{(9n+19)(9n+10)}<0 \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 19:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
so, ich habe die nenner jetzt dazugenommen, obwohl es bei grösser oder kleiner egal ist ob man beide seiten durch die gleiche zahl teilt, das ändert ja am verhältnis nichts.

Genau. Das Ausmultiplizieren der Nenner hättest du dir sparen können.

Zitat:

Original von gabbo
nur frage ich mich, warum ich beide seiten ausmultiplizieren muss?? reicht es denn nicht wenn man schreibt an>an+1????????

Genau soll ja gezeigt werden. Mit bloßem Hinschreiben ist es nicht getan.

Zitat:

Original von gabbo
und so würde mein erster versuch richtig aussehen!!!!(denk ich mal), aber das beweist doch auch, daß wenn ich an+1-an rechne, ich das ergebnis <0 bekomme und somit ist die folge monoton fallend.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n>0 \end{eqnarray*}$

Und deswegen soll nicht dies, sondern die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n<0 \end{eqnarray*}$ gezeigt werden. Und in der Tat kommst du auf einen Bruch, der immer negativ ist. Und damit ist der Fall erledigt.

10.01.2008, 19:32

gabbo

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ahhhhhhhhhhhh, also ist das die lösung!!!
das problem war nur der blödsinn mit der 7!!

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7(n+1)+8}{9(n+1)+10}-\frac{7n+8}{9n+10}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7n+15}{9n+19}-\frac{7n+8}{9n+10}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(7n+15)(9n+10)-(7n+8)(9n+19)}{(9n+19)(9n+10)}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{(9n+19)(9n+10)}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n<~oder~>0 \end{eqnarray*}$ das ist also so etwas wie eine beweisformel für monotonie und durch ausrechnen einzelner glieder kan ich dann bestimmen ob fallend <0, oder steigend >0!!!!!!!
verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 22:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7(n+1)+8}{9(n+1)+10}-\frac{7n+8}{9n+10}<0 \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

Nochmal: Da du fallende Monotonie zeigen willst, mußt du mit der Ungleichung
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n>0 \end{eqnarray*}$
anfangen.

EDIT: Richtig ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n<0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \leq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von gabbo
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n<~oder~>0 \end{eqnarray*}$ das ist also so etwas wie eine beweisformel für monotonie und durch ausrechnen einzelner glieder kan ich dann bestimmen ob fallend <0, oder steigend >0!!!!!!!
verwirrt

verwirrt

Nun ja, das ist im eigentlichen Sinne keine Beweisformel, sondern Definition der Monotonie:
Steigende Monotonie, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \geq 0 \end{eqnarray*}$
Fallende Monotonie, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \leq 0 \end{eqnarray*}$

10.01.2008, 23:24

gabbo

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ist da ein tippfehler? mit < fallend jetzt so >, oder <
soll das heissen, für fallende die steigende benutzen??? oder wenn fallen, dann beweisen, daß sie nicht steigend ist und umgekehrt??
verwirrend!!!!!!!! Erstaunt2

Erstaunt2

verwirrt

11.01.2008, 08:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nochmal: Da du fallende Monotonie zeigen willst, mußt du mit der Ungleichung
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n>0 \end{eqnarray*}$
anfangen.

Tschuldigung. Das kommt vom Kopieren. Hammer

Hammer

Also nochmal richtig:

Fallende Monotonie: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \leq 0 \end{eqnarray*}$
Streng fallende Monotonie: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n < 0 \end{eqnarray*}$

11.01.2008, 08:55

gabbo

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dann ist das ja richtig was ich da habe!!

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7(n+1)+8}{9(n+1)+10}-\frac{7n+8}{9n+10}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7n+15}{9n+19}-\frac{7n+8}{9n+10}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(7n+15)(9n+10)-(7n+8)(9n+19)}{(9n+19)(9n+10)}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{(9n+19)(9n+10)}<0 \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt für n=2 rechne, bekomme ich -0,0019305<0, das bedeutet also, daß a_n+1 < a_n und die folge streng fallend ist. aha!!! so richtig habe ich das noch nicht verstanden wie man bei welcher art von folge vorgehen muss, aber ich denke so langsam macht das sinn!!!!

also danke für hilfe und gedult!!!!!!!!

Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

11.01.2008, 09:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von gabbo
dann ist das ja richtig was ich da habe!!

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n>0 \end{eqnarray*}$

Ja und nein. Du mußt für fallendende Monotonie immer noch mit dieser Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n<0 \end{eqnarray*}$
anfangen. Das wollte ich eigentlich die ganze Zeit nur sagen.

Zum Schluß reicht es natürlich nicht, einfach mal für n eine 2 einzusetzen, um zu sehen, daß das stimmt. Die letzte Ungleichung muß schließlich für alle beliebigen n gelten.

11.01.2008, 09:39

gabbo

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hab es vergessen da oben "tippfehler"!!!

und alle möglichen n wollte ich jetzt auch nicht errechnen!!!

so kann das jetzt also bleiben???

verwirrt

verwirrt

11.01.2008, 09:44

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Ganz besonders schön wäre zum Schluß noch der Hinweis, daß der Bruch in der letzten Ungleichung immer negativ ist, da der Zähler negativ und der Nenner positiv ist, und somit die Ungleichung für alle n erfüllt ist. smile

smile

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