schätzer?

28.05.2005, 17:47	noob	Auf diesen Beitrag antworten »
schätzer? hallo meine aufgabe: $\begin{eqnarray} P(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\ge 1 \end{eqnarray}$ mit dem unbekannten parameter $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} p \in (0,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_1,\dots,X_n \end{eqnarray}$ stichprobe und die zufallsvariablen sind unabhängig. i)likelihood schätzer für p ii)momentenschätzer für p iii)schätzwert für p aufgrund der stichprobe 45,42,40,28,45 ok, meine ansätze: i) $\begin{eqnarray} L\left(x_1,\dots,x_n;p\right)=(1-p)^{x_1-1}p \cdot \dots \cdot (1-p)^{x_n-1}p=p^{n} \cdot (1-p)^{\sum_{i=1}^n (x_i-1)} \end{eqnarray}$ ln drüber: $\begin{eqnarray} lnL(x_1,\dots,x_n;p)=n\cdot ln(p)+\sum_{i=1}^n (x_i-1)\cdot ln(1-p) \end{eqnarray}$ differenzieren nach $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ + gleich nullsetzen für extrema liefert: $\begin{eqnarray} \frac {n}{p}+\frac{1}{1-p} \cdot \sum_{i=1}^n (x_i-1)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \hat{p}=\frac{1}{ \sum_{i=1}^n (x_i-1)} \cdot(1-p)\cdot (-n) \end{eqnarray}$ also da sowieso noch ein p auf der rechten seite ist, ist es eh noch nicht ganz fertig aber glaube sowieso das es so oder so falsch ist. ii)dazu benötige ich wohl den erwartungswert. hab in erinnerung das es so geht: $\begin{eqnarray} E(X)=\sum_{i=1}^n (x_i \cdot P(X_i=k)) \end{eqnarray}$ oder so ähnlich??? also da weiss ich nicht mehr weiter. muss ja irgenwie $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ in abhängigkeit von $\begin{eqnarray} E(X) \end{eqnarray}$ dann da stehen haben... keine ahnung. iii)da wird wahrscheinlich der leichteste teil sein aber da bin ich mir auch nicht sicher. soll ich die werte dann einfach in meinen likelihood schätzer bzw. momentenschätzer eingeben oder muss man da anders vorgehen hoffe ihr könnt mir helfen, vielen dank im vorraus.
28.05.2005, 18:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
i) Fast richtig, aber Vorzeichenfehler wegen vergessener Kettenregel: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\Big[\ln(1-p)\Big]=-\frac{1}{1-p} \end{eqnarray}$ Der Ansatz bei ii) sieht soweit richtig aus - aber wenn du eine Formelsammlung zu gängigen Verteilungen hast, kannst du dir die Sache doch einfacher machen: Schließlich handelt es sich hier um die geometrische Verteilung...
28.05.2005, 18:42	noob	Auf diesen Beitrag antworten »
besten dank. meine ergebnisse: i) $\begin{eqnarray} \hat{p}=\frac {1}{\frac {1}{n} \cdot \sum_{i} (x_i-1)+1} \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} \hat{p}=\frac {1}{\frac {1}{n} \cdot \sum_{i} x_i} \end{eqnarray}$ iii) leider immer noch keine idee... ??????
28.05.2005, 19:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte ja das Ergebnis von i) mittels $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n (x_i-1)=\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)-\left(\sum_{i=1}^n 1\right)=\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)-n \end{eqnarray}$ noch ein wenig vereinfachen... Und bei iii): Einfach die konkrete Stichprobe in die soeben erhaltene Schätzformel einsetzen - wo ist das Problem?
28.05.2005, 20:27	noob	Auf diesen Beitrag antworten »
ach so... dachte erst das man eventuell irgendwie noch ein schätzer aus den ärmeln zaubern sollte .... hast mir sehr geholfen... vielen dank.... bis zur nächsten frage mfg noob

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