Exponentialverteilung

09.01.2008, 13:31	ameise1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilung hallo, Es ist folgende Dichte gegeben: f(x) = a * b * x^b-1 * e^(-a*x^b) x € (0,unendlich) Nun soll ich zeigen: Falls X eine f-verteilte Zufallsvariable ist, dann ist X^b exponentialverteilt zum Parameter a. Wie geh ich da denn vor? Muss ich vielleicht den Erwartungswert von X^b berechnen und da muss dann 1/a rauskommen? Habe ich versucht, aber da komm ich nicht weiter. gruss und danke!!
11.01.2008, 10:14	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst die Wahrscheinlichkeitsdichte von $\begin{eqnarray} X^b \end{eqnarray}$ berechnen.
11.01.2008, 16:45	ameise1984	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das weiß ich ja, aber ich weiß eben nicht wie ich das machen soll..
11.01.2008, 16:57	Gnu	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch mal folgenden Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} t \in [0,\infty) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(X^b<t)=P(X<\sqrt[b]{t})=... \end{eqnarray}$ Da X jetzt eine stetige Zufallsvariable ist deren Dichte Du kennst, kannst du den letzten Ausdruck berechnen.
11.01.2008, 17:04	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende den Transformationssatz für Wahrscheinlichkeitsdichten: $\begin{eqnarray} g: (0,\infty)\to(0,\infty), x\mapsto g(x):=x^b \end{eqnarray}$ ist ein Diffeomorphismus mit $\begin{eqnarray} g'(x)\neq0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} f_{X^b} \end{eqnarray}$ die Dichte von $\begin{eqnarray} X^b \end{eqnarray}$ . Dann gilt also $\begin{eqnarray} f_{X^b}(y)=aby^{\frac{b-1}b}\mathrm{e}^{-ay}\cdot \frac1 {by^{\frac{b-1}b}} 1_{(0,\infty)}(y)=a\mathrm{e}^{-ay}1_{(0,\infty)}(y) \end{eqnarray}$ qed Gruß, therisen PS: @Gnu) "Einmischen"?
13.01.2008, 12:50	ameise1984	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo therisen du setzt doch x^b = y, oder? wie kommst du denn auf den ausdruck y^((b-1)/b) ? hab da ein bißchen rumprobiert und komm nicht drauf!
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13.01.2008, 16:04	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Der entsteht bei $\begin{eqnarray} f(g^{-1}(y)) \end{eqnarray}$ .

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