Unterräume von Körpern

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Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume von Körpern
Hallo zusammen,

muss leider an so einem schönen Samstag mich mit dieser blöden Aufgabe beschäftigen. Kann mir vielleicht einer schnell weiter helfen, damit ich das Wetter noch genießen kann?

AUfgabenstellung:

Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen Unterräume von sind.
Bestimmen Sie jeweils eine Basis.




Muss ich da irgendwie Unterraumaxiome beweisen bezüglich der Aufgabe ? Wenn ja, kann mir da jemand ein wenig helfen ???

Schöne Grüße Siiiima
phi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume von Körpern
Moin, moin,

Zitat:
Original von Siiiima


Was für ein Körper ist das? Was hat es für Eigenschaften?
 
 
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume von Körpern
das sind Matrizen, was meinst du mit Eigenschaften bezogen auf Körper bezüglich der Matrizen?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja was bedeutet die 2 beim M?
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2 steht wahrscheinlich für die Dimension der Matrizen: 2x2

Du musst entweder ein Gegenbeispiel (falls es kein Unterraum ist) angeben oder die Unterraumaxiome beweisen.

Hierfür gehst du die Axiome einfach nacheinander durch. (Abgeschlossenheit bezgl. Addition + Subtraktion, nichtleere Menge, ..)

Um das ganze effektiv beweisen zu können, empfehle ich dir Matrizengleichungen in ein lineares Gleichungssystem in den Komponenten der Matrix umzuwandeln.
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ja bezüglih b) jetzt..kann man da einfach eine zweite matrix finden die der gleichung AB=BA entspricht???ich kenne zwar die axiome weiss aber nicjht wie ich es hier anwenden kann...
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du musst eine Matrix A finden für die AB=BA stimmt. Das kannst du durch ausprobieren oder...habt ihr schon Matrizen invertiert?
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ja matrizen invertiert haben wir auch schon...reicht das denn bei teil b) wirklich eine matrix zu finden???muss man nicht axiome beweisen??
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann nicht schaden.
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich soll ja eine basis bilden nur bezogen auf dies wie kann man da eine basis bilden??

zu b) also nehme ich für A die einheitsmatrix das kommt hin???

also könnte ich für a) doch auch Die einheitmatrix für A nehmen???dann ist auch A^t=-A....ja soll ich denn die basis so zeigen:wenn A die einheitsmatrix ist....dann hat die einheitsmatrix ja zwei basen des spaltenraums oder zeilenraums...reicht das um jeweils eine basis zu bestimmen laut aufgabe???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

da hier schon schön geholfen wird, nur ein paar anermkungen von mir:

Zitat:
TitelUnterräume von Körpern

der titel ist ja wohl daneben! körper haben keine unterräume nur vektorräume haben so etwas.
hier wird der matrizenring über K als vektorraum aufgefasst.


Zitat:
Die 2 steht wahrscheinlich für die Dimension der Matrizen: 2x2

Wink hallo tobias. DIMENSION?
noch mal nahdenken...


mfg jochen
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein A kann auf keinen Fall die Einheitsmatrix sein. AB und BA sind die Einheitsmatrix. A muss das Inverse von B sein.

zu a) muss ich mir nochmal kurz anschauen.

Edit: Blödsinn: A kann natürlich doch die Einheitsmatrix sein! Aber das ist nur ein Element von W

zu a) Tip: Es gibt nur eine Matrix für die A^t=-A sein kann, und das kann hier nicht die Einheitsmatrix sein: da E^t=E, also nicht -E ist. Probiers aus.
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ja sagen wir mal...A*B= die einheitmatrix...so muss a halt die inverse matrix sein..nur wie kann ich denn davon die basis bestimmen verstehst du was ich meine??
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab grade meinen Fehler berichtigt...Schau dir meinen obigen Beitrag nochmal an. Was dann eine Basis wäre ist ja dann klar!
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi

zu a) Tip: Es gibt nur eine Matrix für die A^t=-A sein kann.


Sorry (müde) wieder Blödsinn: Es gibt eine ganze Familie von Elementen in V. Sehen sich alle ähnlich und haben 2 Nuller!
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ja es geht doch beides...also wenn ich auch für A die inverse von B nehme kommt die einheitmatrix raus..was spricht dagegen wenn ich für A die inverse B nehme???gleichun stimmt ja

hier rede ich von W
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

das müsste doch dir orthogonale matrix sein ne

nur wie kriege ich die matrix raus??
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Redest du jetzt von V oder von W?
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

von V.....da ist A doch auch die einheitsmatrix

sorry V ist ...A ist eine schiefsymetrsiche matrix
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi

In V gilt:

zu a) Tip:..das kann hier nicht die Einheitsmatrix sein: da E^t=E, also nicht -E ist. Probiers aus.


Also ab jetzt sagt jeder A in V oder A in W, dann gibt´s keine Missverständnisse.

Was ist E^t ? Probiers aus

Edit: Jetzt kommen wir der Sache näher.
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst ich soll einheit matrix transponieren..da ommt wieder die einheitmatrix raus
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, aber um zu V zu gehören müsste es was sein ?
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

also phi....wenn ich bei V für A diese Matrix nehme...dann ist meine gleichung richtig


die ist schiefsymetrisch nicht wahr


zu W)wie erkenne ich die basis...das hatte ich nämlich nicht verstanden
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch! unglücklich Aber beantworte meine Frage bitte: Warum kann die Einheitsmatrix (und deine eben erwähnte) nicht zu V gehören ? Du hattest es doch fast. Bleib bei einem Beispiel, sonst gibt´s durcheinander!

Edit: Tip : A^t soll doch gleich -A sein. Ist E^t=-E (E= Einheitsmatrix) ??

Edit 2) zu W: Da haben wir doch schon raus, dass E dabei ist. Was ist E ?
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

nein...es ist nicht -E sonder E als ergebnis


zu W)E ist einheitmatrix also neutrales element??
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genauer: das neutrale Element der Multiplikation. Tut hier aber nix zu Sache.

Als was kann man E nehmen. E ist doch die kanonische ....E ist zum Beispiel lin. unabh. und ein ..., und somit eine ...
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ah so E ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem???war das jetzt zu W???
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Siiiima
ah so E ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem???war das jetzt zu W???


E ist immer ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, aber ja wir sind in W. Und nennt wie man ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ?
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich eine basissmile .....


aber jetzt zu V?da komme ich nicht mehr weit???sollen wir da weiter machen??wollte die aufgabe eigentlich abscliesen heute???natürlich mit deiner hilfe
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, lieber erst W weil da gibt´s mehr zu tun als bei V. Hast du das Inverse von B ausgerechnet ? Das wird erstmal ein spezielles A.

(Das Inverse von A ist natürlich wieder B, nix rechen brauch)
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ja das inverse von B habe ich gerechnet...
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wir haben also W={B^(-1), E, ...}, was brauchen wir für ein Vektorraum noch ? bzw. bei welcher Matrix ausser E ist AB=BA noch trivialerweise erfüllt ?
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

die abgeschlossenheit ne??
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit simmer noch nicht. Ich meinte den Nullvektor N ! Das immer als erstes prüfen. Also W={B^(-1), E, N,...}.

Jetzt die Abgeschlossenheit der Addition: Addiere mal B^(-1) +E=...

Poste auch was du bei B^(-1) raushast mit dem Formeleditor: einfach auf die Matrix klicken, Werte eintragen und [ latex ] vorne und hinten[/ latex ]
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

habe doch B^-1 gepostet.....B^-1+E=
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Oops, stimmt ja. Okay jetzt müssen wir prüfen ob (B^-1+E) mal A gleich A mal (B^-1+E) ist...

...also ob dein Ergebnis in W liegt.
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ja schön...dann nehme ich ja für A auch B^-1-- rbekomme dies raus bei beidem

also das ist das ergebnis was ich rechnen sollte
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh´ nicht was du meinst.

Du musst einfach nur gucken ob

ist.
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe dein lkatex code nicht verstanden

so jetzt doch
Siiiima Auf diesen Beitrag antworten »

ja das habe ich gerechnet und es ist wahr
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