Infos bzgl. (gebrochen-)rationale Funktionen

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mercany Auf diesen Beitrag antworten »
Infos bzgl. (gebrochen-)rationale Funktionen
Guten Abend!

Ich bin momentan dabei, mich du die Differentialrechnung zu kämpfen. smile
Als nächstes würde ich gerne auf Ablt. bei rationalen Fkt. eingehen, jedoch habe ich mich mit diesen bis jetzt noch nie beschäftigt gehabt.

Frage also:
Was muss ich über diese alles wissen, vor allem in Bezug auf Ableitungen?



Gruss
mercany
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wink

Du leitest sie ab wie jede andere Funktion, nur das du hier ab und zu die Kettenregel aber doch meist die Produkt- bzw. Quotientenregel benutzen musst.

Beispiel wären gut.

Also



eindeutig Kettenregel.



Produktregel oder wie es wohl üblicher ist Quotientenregel. (oder besser erst den Term "vereinfachen")
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Also



eindeutig Kettenregel.


oder Reziprokensatz Augenzwinkern
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
oder Reziprokensatz Augenzwinkern

Rezi... WAS verwirrt

Noch nie von gehört unglücklich


@iammrvip
Danke für die nette Erklärung!
Muss ich denn ansonsten nichts besonderes über die Eigenschaften von rationalen Fkt. wissen?



Gruss
Jan
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Reziprokensatz:


Kann man natürlich auch füt H(x)=c/b(x) verwenden... Augenzwinkern
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schön!
Werd ich nachher erstmal ausprobieren smile
 
 
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mercany
Rezi... WAS verwirrt

Noch nie von gehört unglücklich

Genau deshalb sage ich es nicht Big Laugh



mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank!
Jetzt ist es auf jeden Fall klar.

Zitat:
Muss ich denn ansonsten nichts besonderes über die Eigenschaften von rationalen Fkt. wissen?

Steht noch offen... smile



Gruss
mercany
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Immer schön gucken, dass der Nenner nich 0 wird.

Dann liegt eine Polstelle oder Lücke vor.

Wenn also gleichzeitig der Zähler an der Stelle = 0 ist, dann liegt eine Lücke vor.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du jetzt, wenn Zähler und Nenner Null sind?

Verstehe den Sinn deiner Aussage nicht ganz.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Wenn also gleichzeitig der Zähler an der Stelle = 0 ist, dann liegt eine Lücke vor.

Vorausgesetzt die Nullstelle hat im Zähler eine größere oder die gleiche Vielfachheit wie im Nenner. Augenzwinkern

Gruß MSS
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

So, möchte das Thema nochmal kurz herauskramen, da ich jetzt endlich Zeit habe, mich damit zu beschäftigen.

Ich hab mir jetzt mal aus meinem Buch ein par Funktionen genommen, und mir angeguck wie die verlaufen.

Jedoch ist mir noch nicht ganz klar, inwiefern zähler und nenner auf den verlauf und die eigenschaften der funktion einwirken.


könnte das vielleicht einer an ein par bsp-funktionen etwas verdeutlichen.
vorallem das mit polstelle oder lücke ist mir noch nicht ganz klar!




besten dank
jan
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Bsp:

Polstelle in x=0
Aber bei

liegt eine hebbare Definitionslücke bei x=0 vor...

Die Graphen dazu:
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Wann ist eine Deffionitionslücke denn hebar und wann nicht ?

Kann man für Zähler und Nenner ein Verhalten in Bezug auf den Verlauf der Kurven feststellen?


ps: dank dir mike!



Gruss
mercany
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

@ frocke

hab mal ne frage zu deinem graphen.
wenn man ne behebare definitionlücke hat muß man sie nacher beim zeichnen doch raus lassen oder? man kennzeichnet die stelle doch durch einen kleinen kreis, denn die "gekürzte" funktion ist ja nur ne ersatztfunktion zu der ausgangsfunktion und nicht die gegebene funktion oder?
denn die gezeichnete "ersatzfunktion" ist ja für x= o definiert aber ausgangsfunktion doch nicht. verwirrt
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

@derkoch
Das Problem liegt beim Plotter. Er zeichnet im Punkt einfach nichts anstatt des offenen Kreises, aber durch die Koordinatenachsen sieht man das nicht.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

axo! oki danke
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

okey mike!

die bedingung für hebare deffionitionslücke ist so wie ich das verstanden habe, dass zähler- und nennerfunktion an der selben stelle gleichzeitig null werden. wobei gelten muss, das der linearfaktor der nullstelle im nenner weniger oder gleich oft vorkommt wie im zähler. stimmt das so?

nullstellen des zählers gibt mir die nullstellen der funktion an und die nullstellen des nenners die polstellen der funktion.

wenn zählergrad > nennergrad, dann geht die fkt. gegen unendlich mit x gegen unendlich

wenn zählergrad < nennergrad, dann geht die fkt. gegen null mit x gegen unendlich

wenn zählergrad = nennergrad, dann verhält sich die fkt. irgendwie asymptotisch. das ist mir aber noch nicht so ganz klar.


hab ich immer bei einer polstelle eine asymptot und wann habe ich eine vertikale und wann ein horizontale?



ich weiß, sehr viele fragen, aber vielleicht erbarmt sich ja wer smile



Liebe Grüße
mercany
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mercany
die bedingung für hebare deffionitionslücke ist so wie ich das verstanden habe, dass zähler- und nennerfunktion an der selben stelle gleichzeitig null werden. wobei gelten muss, das der linearfaktor der nullstelle im nenner weniger oder gleich oft vorkommt wie im zähler. stimmt das so?

Du kannst es auch so prüfen:
Stetig hebbar ist eine Definitionslücke a, wenn dort

gilt.

Zitat:
Original von mercany
nullstellen des zählers gibt mir die nullstellen der funktion an und die nullstellen des nenners die polstellen der funktion.

oder eben hebbare Definitionslücken. Sonst tiptop Freude

Zitat:
Original von mercany
wenn zählergrad > nennergrad, dann geht die fkt. gegen unendlich mit x gegen unendlich

wenn zählergrad < nennergrad, dann geht die fkt. gegen null mit x gegen unendlich

wenn zählergrad = nennergrad, dann verhält sich die fkt. irgendwie asymptotisch. das ist mir aber noch nicht so ganz klar.

Stimmt, und mit den Asymptoten ist das relativ einfach... Da kommt es einfach zum Koeffizientenvergleich beim höchsten Grad (das ist mathematisch nicht ganz korrekt aber anschaulich)... (müsste man sonst glaube ich mit geeigneten Abschätzungen machen (kommt letztlich aufs Gleiche heraus))...


also horizontale Asymptote: y=1.5 (vertikale Asymptoten gibt's bei Polstellen)...
Es gibt aber auch noch asymptotische Kurven usw... (Für diese sonst mal nachfragen, dann gibt's ein Beispiel smile )...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Moin Mike Wink

Okey, und für vertikale Asymptote gilt ja:



Und wenn sie waagerecht ist, dann strebt x eben gegen unendlich und konvergiert gegen eine reele Zahl.

Hab ich das soweit auch noch richtig im Kopf?


Bei behebbare Definitionslücke kenn ich die Bezeichnung mit diesen Pfeilen nach unten und nach oben nicht. Was bedeutet das in Worten?


Ich greife noch eine andere Frag von mir erneut auf:
Sagen mir Nenner und Zähler etwas über den Verlauf der Kurven?



Gruss
Jan
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mercany
Moin Mike Wink

Okey, und für vertikale Asymptote gilt ja:



Und wenn sie waagerecht ist, dann strebt x eben gegen unendlich und konvergiert gegen eine reele Zahl.

Hab ich das soweit auch noch richtig im Kopf?

Jepp!

Zitat:
Original von mercany
Bei behebbare Definitionslücke kenn ich die Bezeichnung mit diesen Pfeilen nach unten und nach oben nicht. Was bedeutet das in Worten?

Genau das gleiche wie Du geschrieben hast. Da gibt's mehrere Schreibweisen...
Zum Beispiel Limes gegen null vom Negativen kommend schreibt man:

oder

oder was mir nicht bekannt war und Du verwendest


Ein Beispiel wo Du das brauchst ist z.B. die Ableitung der Absolutbetragsfunktion:
Dort ist

und

Du unterscheidest ja auch bei f(x):=1/x...

Zitat:
Original von mercany
Ich greife noch eine andere Frag von mir erneut auf:
Sagen mir Nenner und Zähler etwas über den Verlauf der Kurven?

Ja schon! Grad bei Zählerpolynomgrad>Nennerpolynomgrad können auch asymptotische Kurven darüber (wenigestens approximativ) Auskunft geben...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke

Ja schon! Grad bei Zählerpolynomgrad>Nennerpolynomgrad können auch asymptotische Kurven darüber (wenigestens approximativ) Auskunft geben...


Kann ich das irgendwo nachlesen?
Also was mir Zähler und Nenner über die Funktion aussagen.

Also wenn ich z.B. habe, dann sagt mir das jetzt persönlich garnichts *g*


Besten Dank nochmal für die netten Erklärungen bis jetzt, Mike!



Gruß, Jan
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz normale Hyperbelfunktion um 1 nach rechts verschoben.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eigentlich recht schwierig zu sehen, aber jetzt grad bei deinem Beispiel ist es einfach. Das ist eine 1/x-Kurve, die um eins nach rechts verschoben ist... (Die Definitionslücke ist ja in x=1)

Und ansonsten kannst Du es via Polstellen und Limitenprüfen qualitativ rel. gut zeichnen.

Nun zu den asymptotischen Kurven...
Wenn Du bspweise:

gegeben hast, kannst Du Polynomdivision machen:
Du kriegst also


Du siehst, dass für x gegen +unendlich das Restglied gegen null geht, die Kurven sich also beliebig nahe annähern... Eine Zeichung:


EDIT: LATEX und Plotter-Probleme

Noch ein EDIT: as. Kurven gibts auch bei Wurzelfunktionen:
Beispiel:

Die asymptotische Kurve ist (hier linear):

Auch da eine Zeichung:
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du siehst, dass für x gegen +unendlich das Restglied gegen null geht

öhm... verwirrt

Ich bin mir nicht so sicher unglücklich


/edit
Zitat:

Was bedeuten die Striche?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke



Wenn Du das Restglied ansiehst:

Untersuche mal


EDIT: Striche bedeuten Absolutbetrag smile
Du kennst doch sicher
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar! smile

/edit: Das Ganze muss ich jetzt erstmal verarbeiten und mir noch etwas verinnerlichen!

Danke erstmal für die nette Hilfe, und ich werde mich morgen oder so nochmal melden, falls noch weitere Fragen auftauchen smile


Gruss
Jan
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mike,

ich hab nocheinmal eine Frage zu deiner Notation:


In deinem Beispiel hast du ja einfach einen Koeffizientenvergleich der vom Grad höchsten Funktionsvariable vorgenommen.

Was wäre jetzt gewesen, wenn du statt gehabt hättest.
Dann hätte doch wahrscheinlich keine vertikale Asymptote vorgelegen, oder?
Also wo hängt das hier beim Vergleich ab, ob du eine vertikale oder horizontalg Asmptote hast?


Gruss
Jan


/edit: Latex vergessen Hammer
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Da Du hier das Verhalten für untersuchst ist es sowieso eine horizontale Asymptote Augenzwinkern ...

Im einen Fall wäre einfach der Grenzwert 1.5 und sonst halt 0.666...

Und zum Koeffizientenvergleich: Genau so einfach ist das eigentlich... Im unendlichen wird ein x im Quadrat gegenüber einem x hoch drei vernachlässigbar klein...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, besten dank!
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine kleine Frage, die mir zur Grenzwertbestimmung eingefallen ist:

Reicht es denn, wenn ich nur die Koeffizienten der vom höchsten Grad vorkommenden Funktionsvariable nehme?

Klar, kleinere Potenzen werden immer unwichtiger.... jedoch auch nicht in jedem Falle, oder?



Gruss
mercany
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Doch! Bei gebrochenrationalen Funktionen ist das immer so... Wo's dann eben schwieriger wird ist so bei Limiten wo die euler'sche Zahl drinsteckt oder so...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Dank dir Mike....!

Naja, zu dem Euler komme ich jetzt ja gerade. smile


LG
Jan
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