Ableitung von Potenzfunktionen

29.05.2005, 01:09

blondi

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Ableitung von Potenzfunktionen

Tagchen allerseits!

Hab mal wieder ne Frage.

Aufgabe:
An welchen Stellen haben die Potenzfunktionen x->x^n die Steigung 1 [-1]?

Wie man das für einzelne Funktionen ausrechnet, ist mir klar.
Und auch dass es entweder 2, 1 oder kein Ergebnis gibt wenn n gerade bzw ungerade ist.

Aber wie antworte ich auf die Frage? Da sind ja keine Funktionen vorgegeben, für die man das ausrechnen soll?

thx
smile

smile

blondi

smile

29.05.2005, 01:12

iammrvip

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Hallo

Wink

Du sollst du Stellen x bestimmen, wo die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$

die Steigung 1 bzw. -1 hat.

Dazu musst du erstmal überlegen, wie man die Steigung einer Funktion berechnet verwirrt

verwirrt

29.05.2005, 01:13

blondi

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hi

Wink

nx^n-1

29.05.2005, 01:14

Mathespezialschüler

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Dann mach es doch so, als wenn n eine Zahl wäre:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$

besitzt die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=... \end{eqnarray*}$ . Setze diese =1 und stelle nach x um. Unterscheide dabei die Fälle
1. n gerade und
2. n ungerade.

edit:

Zitat:

Zitat von blondi
nx^n-1

Das ist nur ein Term, schreibe noch ein $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ davor, dann wird es richtig! Das ist nicht unwichtig ...

Gruß MSS

29.05.2005, 01:40

blondi

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ok, danke

schreib ich dann einfach zu jedem

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[n-1]{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

bzw. -1 unter der wurzel und dann nur noch wie viele lösungen es gibt?

29.05.2005, 01:57

phi

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Moin, moin!

Im Fall f´(x)=-1 wird´s -(1/n) unter der Wurzel. Ja und wieviele Lösungen es da gibt hängt davon ab ob n gerade oder ungerade ist.

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29.05.2005, 13:25

Mathespezialschüler

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Nein, jetzt musst du eine Fallunterscheidung machen!

1. n gerade, dann ist n-1 ungerade, also gibt es nur eine Lösung

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[n-1]{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

2. n ungerade, dann ist n-1 gerade, also gibt es zwei Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_1=+\sqrt[n-1]{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-\sqrt[n-1]{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Und wenn dort -1 steht, musst du auch eine Fallunterscheidung machen:

1. n gerade, als n-1 ungerade, welche Lösung gibt es dann? (denke daran, dass die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist. Du musst die Lösung deshalb umschreiben.)

2. n ungerade, also n-1 gerade, gibt es dann überhaupt eine Lösung?

So ungefähr solltest du das aufschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zeig mal, was du jetzt noch zu 1. und 2. bei "-1" hinschreiben würdest!

Gruß MSS

29.05.2005, 13:42

phi

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Hallo,

Kompexe Zahlen sind doch definiert, oder nicht?

29.05.2005, 14:05

Mathespezialschüler

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@phi
Ich bin mir aber 1000%-ig sicher, dass blondi noch nichts von komplexen Zahlen gehört hat und damit ganz bestimmt nicht arbeiten soll!

Gruß MSS

29.05.2005, 15:21

phi

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Achso, ich dachte sie macht Abi (Alter: 17) & dass i da schon dran war.. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2005, 16:17

blondi

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für -1:

n gerade:

$\begin{eqnarray*} x = -\sqrt[n-1]{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

n ungerade:

$\begin{eqnarray*} L = \{ \} \end{eqnarray*}$

ähm aber ich weiß grad selbs nich mehr warum das 1. ne lösung hat

29.05.2005, 16:25

Mathespezialschüler

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So ist es richtig! Das hat ne Lösung, weil man beim Potenzieren einer negativen Zahl mit ungeradem Exponenten auch wieder eine negative Zahl erhält! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

29.05.2005, 16:33

blondi

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ok danke

also kann man aus negativen zahlen wurzeln ziehn wenn die wurzel ungerade ist? verwirrt

verwirrt

29.05.2005, 16:43

Mathespezialschüler

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Hallo!
Nein, das wichtige ist, dass du zwischen Lösung einer Gleichung und Wurzel unterscheidest!
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8} \end{eqnarray*}$ ist i.A. nicht definiert, allerdings hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=-8 \end{eqnarray*}$ natürlich eine Lösung, nämlich $\begin{eqnarray*} -2=-\sqrt[3]{8} \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

29.05.2005, 17:48

blondi

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ok dankesehr!

dann noch eine letzte frage

und zwar haben wir noch ne aufgabe aufgekriegt wo man die ableitungsfunktion gegeben hat und auf die ausgangsfunktion kommen muss.

also alles ziemlich leicht z.b. f'(x) = 4x^3 und f(x) is dann x^4

aber da sind zwei sachen dabei, die wir noch gar nich hatten
f'(x) = 3*cos x
f'(x) = 2*sin x

wie geht das? verwirrt

verwirrt

29.05.2005, 17:54

Mathespezialschüler

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Hallo nochmal!
Das nennt man übrigens (unbestimmt) integrieren und das werdet ihr nächstes Schuljahr noch sehr ausführlich behandeln! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also was ist denn die Ableitung vom sin und was die vom cos? Wenn da jetzt ein cos als Ableitung mit einem Faktor steht, wie könnte dann denn wohl mglw. die Funktion f aussehen?
Übrigens: Steht da, man soll auf die Ausgangsfunktion kommen oder auf eine? "Die" wäre falsch, dann wäre die Aufgabenstellung also falsch formuliert! Es gibt nämlich unendlich viele solcher Funktionen!
Z.B. bei $\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3 \end{eqnarray*}$ , da kann ja auch $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4+36578 \end{eqnarray*}$ sein, die hat ja die gleiche Ableitung! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

29.05.2005, 18:13

blondi

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ja da steht eine

im buch steht die ableitung vom cos is sin

und vom sin weiß ich nicht, tan? verwirrt

verwirrt

29.05.2005, 18:17

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hattet ihr die Ableitungen von sin und cos noch nicht im Unterricht? Warum kriegt ihr dann solche Aufgaben? Der Tangens ist nicht die Ableitung vom sin! Das hast du jetzt einfach so geraten oder? Oder warum sollte er das sein?
Die Ableitung vom sin ist der cos:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sin x\ \Rightarrow\ g'(x)=\cos x \end{eqnarray*}$

Hast du denn jetzt schon ne Idee, welche Funktion die Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3\cdot \cos x \end{eqnarray*}$

haben könnte?

Gruß MSS

29.05.2005, 18:33

blondi

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ähm keine ahnung warum wir so was aufkriegen, wir haben ziemlich viel auf und da waren halt zwei von den sachen dabei
hausaufgaben machen auch nur die wenigsten bei uns

http://www.pimkie.de/board/images/smiles/icon_rolleyes.gif

2*sin x = -2cos x
3*cos x = 3sin x

?

29.05.2005, 18:46

brunsi

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sollen da nur die ableitungen gebildet werden??

Zitat:

3*cos x = 3sin x

Zitat:

2*sin x = -2cos x

was sollst du mit obigen gleichungen machen???

29.05.2005, 18:48

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von blondi
2*sin x = -2cos x
3*cos x = 3sin x

So darfst du das auf keinen Fall aufschreiben!! Ableitung und die Funktion sind ja zwei verschiedene Dinge! So solltest du das aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\sin x \end{eqnarray*}$

Dann ist eine Stammfunktion von f' (f heißt Stammfunktion von f', wenn f' die Ableitung von f ist):

$\begin{eqnarray*} f(x)=-2\cos x \end{eqnarray*}$

Und entsprechend die andere:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3\cos x \end{eqnarray*}$

Dann ist eine Stammfunktion von f':

$\begin{eqnarray*} f(x)=3\sin x \end{eqnarray*}$

Beides ist aber richtig! Freude

Freude

Gruß MSS

06.06.2005, 09:51

Frooke

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Ableitung vom sin ist der negative cos:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sin x\ \Rightarrow\ g'(x)=-\cos x \end{eqnarray*}$

Du meintest hier bestimmt nicht Ableitung oder verwirrt

verwirrt

. Denn (sin(x))'=cos(x)... Wolltest Du nicht eher «eine Stammfunktion» sagen?

06.06.2005, 10:53

mercany

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Naja, es gilt doch: $\begin{eqnarray*} - \sin(x) = \cos^\prime(x) \end{eqnarray*}$
Ich denke mal, er meinte das!

Gruss
mercany

06.06.2005, 11:11

Frooke

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Zitat:

Original von mercany
Naja, es gilt doch: $\begin{eqnarray*} - \sin(x) = \cos^\prime(x) \end{eqnarray*}$
Ich denke mal, er meinte das!

Gruss
mercany

Hast Du wohl recht, aber in blondis Buch scheint's auch falsch zu sein:
«im buch steht die ableitung vom cos is sin»
Ableitung vom cos(x) ist -sin(x)... Seltsames Buch Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.06.2005, 21:13

Mathespezialschüler

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Geändert, danke!!

Gruß MSS

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