Webfehler Poisson-verteilt

09.01.2008, 16:08	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Webfehler Poisson-verteilt Hi, wollt nur mal vergleichen, ob mein Ansatz und meine Lösung richtig ist... Die Anzahl der Webfehler auf einem Meter Länge Stoff werde als Poisson-verteilt angenommen. Auf einer Länge von zehn Metern treten im Durchschnitt acht Webfehler auf. Die Fehler sind bei oberflächlicher Betrachtung nicht sofrot alle zu erkennen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück Stoff von einem Meter Länge mindestens zwei Webfehler enthält, wenn bei oberflächlicher Betrachtung ein Fehler sofort sichtbar wurde? Ich habe mich zunächst an die Bestimmung des Parameters $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ gemacht: als Lösung erhalte ich $\begin{eqnarray} \lambda=0,8 \end{eqnarray}$ . Wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Fehler gesucht ist, gehe ich mit dem Gegenereignis ran und mache den Ansatz $\begin{eqnarray} P(X\geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1) \end{eqnarray}$ Nun meine Überlegung: da ein Webfehler bereits bei oberflächlicher Betrachtung entdeckt wurde, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Stoff von ein Meter Länge keinen Fehler hat gleich Null. Also: $\begin{eqnarray} P(X\geq 2)=1-P(X=1) \end{eqnarray}$ Ist das die richtige Überlegung? Oder was soll der letzte Nebensatz sonst aussagen??? Danke für eure Hilfe
09.01.2008, 16:28	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Der letzte Satz soll aussagen, daß du P(X>=2 \| X>=1) ausrechnen sollst, also eine bedingte Warhscheinlichkeit. Da kommt etwas gravierend anderes raus, als du berechnest. Keine Ahnung, ob ich es hinkriege dir das verständlich zu erklären, aber ich versuchs mal. Im Prinzip ist es immer so: Wenn du eine neue Information kriegst, kannst du nicht einfach nur alle Ereignisse, die nach dieser Information rausfallen, weglassen. Es ändert sich ja nicht nur die Wahrscheinlichkeit, keinen Fehler zu finden auf 0, wenn du weißt, daß schon einer da ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß genau ein Fehler vorhanden ist, ändert sich ja auch, genauso die für genau 2 Fehler usw. Du mußt vielmehr alle noch vorhandenen Wahrscheinlichkeiten mit dem selben linearen Faktor reskalieren, so daß sie in Summe wieder 1 ergeben. Die Formel für eine bedingte Wahrscheinlichkeit lautet ja beispielsweise P(A\|B)=P(AnB)/P(B). Das AnB im Zähler bewirkt nun, daß du von deiner ursprünglichen Ereignisalgebra zu einer Unteralgebra übergehst (die sog. Spur-Sigma-Algebra von B), und der Faktor im Nenner sorgt dafür, daß das Maß auf dieser Unteralgebra wieder so reskaliert wird, daß es ein Wahrscheinlichkeitsmaß bleibt. Das deine Methode nicht die richtige sein kann, sieht man vielleicht am ehesten so: Nimm mal an du siehst auf einem Meter Stoff auf den ersten Blick schon den völlig unrealistischen Wert von 100 Fehlern. Nach deiner Rechnung ist nun die Wahrscheinlichkeit, daß da auch noch ein 101. Webfehler ist, fast 1, d.h. je mehr du siehst, desto größer ist die Chance, noch weitere zu finden (trotz a priori bekanntem Durchschnittswert!) Das kann einfach nicht sein.
09.01.2008, 18:28	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, habe meinen Fehler eingesehen Hab mir schon sowas mit der bedingten Wahrscheinlichkeit gedacht, wollte das aber umgehen Mein neuer Ansatz lautet: $\begin{eqnarray} P(X\geq 2\|X\geq 1)=\cfrac{P((X\geq 2)\cap (X\geq 1))}{P(X\geq 1)} \end{eqnarray}$ Den Nenner habe ich herausbekommen über $\begin{eqnarray} P(X\geq 1)=1-P(X=0)\approx 0,5507 \end{eqnarray}$ voraussichtlich, dass mein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ überhaupt stimmt. Wie kann ich aber den Zählerwert bestimmen? Von Unabhängigkeit ausgehen?
09.01.2008, 18:41	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, die sind ganz bestimmt nicht unabhängig voneinander. Wenn X>=2 ist, ist doch X>=1 auch erfüllt. (Im Prinzip sind das ja beides Abkürzungen für bestimmte Mengen, und von denen bildest du den Durchschnitt).
09.01.2008, 18:55	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Durchschnitt liegt alles außer das Ereignis $\begin{eqnarray} (X=1) \end{eqnarray}$ . Soll es das sein? Also $\begin{eqnarray} P(X\geq 2) \end{eqnarray}$ ???
09.01.2008, 19:10	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
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09.01.2008, 19:18	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Also nun endlich: $\begin{eqnarray} P(X\geq 2\|X\geq 1)=\cfrac{P((X\geq 2)\cap (X\geq 1))}{P(X\geq 1)}=\cfrac{P(X\geq 2)}{P(X\geq 1)}\approx 0,3472 \end{eqnarray}$ Hoffe das stimmt jetzt, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Danke für deine Hilfe und deine gute Erklärung

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