Grenzwert: lim x^x (x -> 0+)

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smoon Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert: lim x^x (x -> 0+)
Hallo,

komme bei der folgenden Berechnung des Grenzwertes nicht voran.

lim x^x (x -> 0+)

Hoffe ihr habt da nen Hinweis für mich.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Für gilt:

.

Der Grenzwert des Exponenten könnte dir vielleicht bekannt sein!? Falls nicht: Er lässt sich mit der Regel von de l'Hospital berechnen.
smoon Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, den Satz von l'Hospital sollen wir jedoch nicht verwenden, da noch nicht in der Vorlesung behandelt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

du könntest mit der substitution den grenzwert auf



zurückführen.

denn kann man mit hilfe der exponentialreihe berechnen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann vielleicht so: Für geht . Dann ist

.

Ist denn nun wenigstens die Aussage bekannt?
smoon Auf diesen Beitrag antworten »

Ja danke, habt mir sehr geholfen.
 
 
Wodar Hospur Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, möchte mal das Thema wiederverwerten.

Die Überlegungen mit e^ln(x) sind mir bekannt mit l`Hospital. Aber mir ist eine andere Lösung in den Sinn gekommen und wollte mal hören ob sie so tauglich ist.

Zur Aufgabe gilt die Einschränkung das f(x) R+ -> R abbildet. In diesem Sinne soll dann lim x -> 0 für x^x berechnet werden.

Meine Argumentation:
o.B.d.A: x < 1


Beweis kann durch Einschachtelung erfolgen!

Außerdem gilt:


Das heißt zusammengesetzt:


Was dann nach einfacher Grenzwertbetrachung von:

Zum Grenzwert 1 führt.

Für mich unklar ist noch ob ich diese verschiedenen Limesbetrachtungen gesondert hervorheben muss!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte für eine neue Frage ein neues Thema eröffnen.


Was deine Idee angeht:
Du betrachtest einmal mit fest und einmal .
Diese sind aber überhaupt nicht gleich. Im ersten Fall variiert bloss der Exponent und im zweiten Fall der Exponent und die Basis.
Also wieso soll man das einfach "zusammensetzen" dürfen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Solange du diese "einfachen Grenzwertbetrachtungen" nicht nennst, kann man ketzerisch einwenden, dass du das Problem nicht vereinfachst, sondern durch die Transformation lediglich verlagerst. Big Laugh
Wodar Hospur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bitte für eine neue Frage ein neues Thema eröffnen. Was deine Idee angeht: Du betrachtes einmal mit fest und einmal . Diese sind aber überhaupt nicht gleich. Im ersten Fall variiert bloss der Exponent und im zweiten Fall der Exponent und die Basis. Also wieso soll man das einfach "zusammensetzen" dürfen?


Okay Thema merk ich mir.

Zum Punkt mir ist vollkommen klar das diese Grenzwertbetrachtungen für sich genommen nicht gleich sind. Deswegen ist ja gerade meine Frage wie ich den zeigen kann das der Grenzwert für beide Funktionen gleich ist. Die Idee ist das sich:

Und nach den Potenzgesetzen wird ein exp(x) zu einer 1/x-ten Wurzel. Was dann als verkettete Funktion ja sich wie beschrieben verhält... Mir fehlt ehrlich gesagt einfach noch der richtige Kniff/Dreh um die Äquivalenz zu zeigen ohne eine Zerlegung in e und ln einsetzen zu müssen.

Zitat:
Solange du diese "einfachen Grenzwertbetrachtungen" nicht nennst, kann man ketzerisch einwenden, dass du das Problem nicht vereinfachst, sondern durch die Transformation lediglich verlagerst. Big Laugh


Na die ist halt schlicht:


Bzw. so seh ich es gerade naiverweise Big Laugh !
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung



ist in folgendem Sinn durchaus korrekt: Existiert einer der beiden vorkommenden Limites im eigentlichen Sinn und ist er ungleich 0, so existiert auch der andere und es gilt die Gleichheit. Wie Arthur aber schon gesagt hat: Du hast damit lediglich ein Problem in ein dazu äquivalentes übersetzt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und noch eine Verlagerung, diesmal zu

.

Das ist gar nicht so "trivial", immerhin musst du hier reelle im Grenzübergang betrachten, nicht nur natürliche. Augenzwinkern
Wodar Hospur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Gleichung ist in folgendem Sinn durchaus korrekt: Existiert einer der beiden vorkommenden Limites im eigentlichen Sinn und ist er ungleich 0, so existiert auch der andere und es gilt die Gleichheit. Wie Arthur aber schon gesagt hat: Du hast damit lediglich ein Problem in ein dazu äquivalentes übersetzt.


Naja halt selbst überlegt statt vom Herrn l'Hospital geklaut. Deswegen ist der Aufwand wahrscheinlich total überzogen, möchte aber daran auch etwas das Vorgehen üben.

Zitat:
Und noch eine Verlagerung, diesmal zu . Das ist gar nicht so "trivial", immerhin musst du hier reelle im Grenzübergang betrachten, nicht nur natürliche. Augenzwinkern


Kurzfristig hast du mich damit echt baff gemacht, aber nach einer kleinen übelegung ist es doch recht trivial. Denn:
1) Wenn x < 0 muss gelten a > 1
2) Zwingt mich ja niemand anzuwenden.

Weil ich wegen der Vollständigkeit für jedes ein finden kann das gilt. Wesegen sich b ja auch besser eignet.

Ansonsten würde ich argumentieren das der reellteil von a wenn a gegen unendlich strebt vernachlässigbar wird, da die nächste Zahl sowieso näher an der 1 liegt.


Edit: Code durch passende Buchstaben ersetzt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Solche Formulierungen wie "ist sowieso näher" etc sind mathematisch gesehen Unsinn.
Du musst den fraglichen Grenzwert schon rigoros nachweisen.
Was deine erste Bedingung geht ist es OK, wenn du betrachtest darfst du natürlich auch voraussetzen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wodar Hospur
Zitat:
Die Gleichung ist in folgendem Sinn durchaus korrekt: Existiert einer der beiden vorkommenden Limites im eigentlichen Sinn und ist er ungleich 0, so existiert auch der andere und es gilt die Gleichheit. Wie Arthur aber schon gesagt hat: Du hast damit lediglich ein Problem in ein dazu äquivalentes übersetzt.


Naja halt selbst überlegt statt vom Herrn l'Hospital geklaut.


Ich glaube, du hast immer noch nicht verstanden, worum es geht. Durch diese Umformung hast du das Problem nicht etwa vereinfacht, sondern nur verlagert.

Und was du dann im Folgenden schreibst, übersteigt mein Verständnisvermögen. Schon daß jetzt auf einmal ins Spiel kommen, obwohl doch von Anfang an klar war, daß sein muß.

Ziemlich wirr, das alles ...
Wodar Hospur Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich a -> unendlich sehe warum muss ich den Fall a Element von R abdecken. Der Grenzwert bleibt mir auch bei a Element von N erhalten. Bzw. wenn ich es nachweisen müsste was wären geeignete Mittel.

Zitat:
Ich glaube, du hast immer noch nicht verstanden, worum es geht. Durch diese Umformung hast du das Problem nicht etwa vereinfacht, sondern nur verlagert. Und was du dann im Folgenden schreibst, übersteigt mein Verständnisvermögen. Schon daß jetzt auf einmal ins Spiel kommen, obwohl doch von Anfang an klar war, daß sein muß. Ziemlich wirr, das alles ...


Tut mir leid, Fehler meinerseits, natürlich nicht meinte

weil ich ja in der ürsprünglichen Aufgabe den Grenzwert der Funktion bei x -> 0 berechnen muss. Ich versuche das Problem umzuformen und dann zu lösen. In meiner Vorlesung mein ich was von mitgenommen zu haben. Deswegen ja auch der ganze Aufwand. Da dies auch meiner naiven Vorstellung der Funktion im I ]0,1[ am ehesten entsprechen würde.

Das es unklar, unverständlich wirkt liegt wohl daran das ich noch Anfänger bin.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vergleiche



Wodar Hospur Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, verstanden. Wenn ich jetzt aber nachweise das der Grenzwert von:



Dann wäre meine Umformung hilfreich und das Problem gelöst?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Erst nach mehrmaligem Darüberlesen habe ich überhaupt verstanden, was du mit deiner letzten Formel sagen willst. Bitte verwende die üblichen mathematischen Bezeichnungen, sonst wirst du dir hier nicht viele Freunde schaffen, die dir bereitwillig helfen.

Im übrigen zum letzten Mal: Deine Umformung ist nicht hilfreich, weil sie das Problem nur verlagert, sozusagen aus einem Problem ein mindestens ebenso schweres anderes macht. Aber das hat dir Arthur bereits viele Beiträge zuvor gesagt ...
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