Leibniz Regel

09.01.2008, 18:32

hxh

Leibniz Regel

$\begin{eqnarray*} (fg)^{(n)}= \sum_{k=1}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} f^{(n-k)} g^{(k)} \end{eqnarray*}$

Ich komm wegen dem Startwert k=1 beim Induktionsanfang irgendwie nicht auf das richtige. Würde eine Indexverschiebung was bringen?

09.01.2008, 18:37

Mathespezialschüler

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Diese Formel ist falsch, deswegen kommst du nicht weiter. Die Summe muss bei $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ beginnen!

09.01.2008, 18:42

hxh

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Das hat mich schon voll gewundert ! Auf dem Aufgabenblatt steht es dann falsch und ich wundere mich warum das ned geht

10.01.2008, 19:44

hxh

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Ok das hab ich bewiesen mit Induktion, ich kann die Produktregel doch verwenden um dann die Quotientenregel zu zeigen, nur wie weiß ich nicht genau.

$\begin{eqnarray*} \frac{f}{g} = f g^{-1} \end{eqnarray*}$

wäre es möglich sich ein h zu definieren mit $\begin{eqnarray*} h: = g^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

10.01.2008, 19:47

vektorraum

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Wie elementar willst du die Quotientenregel beweisen? Oder welche Regeln willst du als bekannt voraussetzen?

Oder willst du die Kettenregel auch allgemein beweisen, etwa so

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}=\left(\cfrac{f}{g}\right)^{(n)} \end{eqnarray*}$

???

10.01.2008, 19:51

hxh

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Ich hab ja nur die Produktregel bewiesen, also kann ich nur diese Vorraussetzung verwenden.

Zeigen will ich , dass $\begin{eqnarray*} \left(\cfrac{f}{g}\right)^{(n)} \end{eqnarray*}$ n-mal differenzierbar ist. Natürlich führ g(x) ungleich 0

Edit: geht das überhaupt ohne Kettenregel, dann hätte ich nämlich ne idee wenn ich kettenregel benutzen darf

10.01.2008, 21:38

tmo

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mit produkt- und kettenregel kannst du die quotientenregel leicht folgern.

eine möglichkeit sie ohne kettenregel zu folgern ist:

$\begin{eqnarray*} f = \frac{u}{v} \Longleftrightarrow fv=u \end{eqnarray*}$ .

Nun mit produktregel ableiten und nach f' freistellen.

10.01.2008, 21:54

hxh

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hat geklappt !! thx smile

10.01.2008, 22:00

tmo

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allerdings muss ich dir sagen, dass das glaube ich kein strenger beweis ist, da die existenz von f' vorrausgesetzt wird.

10.01.2008, 23:06

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von tmo
allerdings muss ich dir sagen, dass das glaube ich kein strenger beweis ist, da die existenz von f' vorrausgesetzt wird.

Da glaubst du richtig. Die Quotientenregel kann man mit der Produktregel dann herleiten, wenn man die Kettenregel oder die 'Reziprokenregel' schon kennt.

(Letztere lautet komplett ausformuliert: Ist $\begin{eqnarray*} g:I\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \xi\in I \end{eqnarray*}$ differenzierbar und ist $\begin{eqnarray*} g(\xi)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so gibt es eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U(\xi) \end{eqnarray*}$ , sodass die Funktion $\begin{eqnarray*} f=\frac{1}{g} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U(\xi)\cap I \end{eqnarray*}$ definiert ist, und dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ebenfalls in $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ differenzierbar mit der Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(\xi)=\frac{-g'(\xi)}{(g(\xi))^2} \end{eqnarray*}$ .)

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