Gradient

09.01.2008, 21:31

Woaze

Gradient

Wie soll ich denn das berechnen?

Gegeben ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} R:\mathbb R^n ohne \{ 0\} \Rightarrow R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(x):=\frac{<Ax,x>}{\mid x \mid^2} \end{eqnarray*}$ , wobei A die n x n Matrix ist und <Ax,x> das Skalarprodukt.

Z.z. Die kritischen Punkte mit verschwindendem Gradienten sind genau die Eigenvektoren von A.

Soll ich da den Gradienten ausrechen??

Des wird ja so ein Ungetüm unglücklich

10.01.2008, 02:10

Marcyman

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Jap, Gradienten ausrechnen. Das ist nicht wirklich schwierig hier. Rechne allgemein die i-te part. Ableitung aus, indem du Quotientenregel anwendest.

10.01.2008, 10:05

Woaze

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$\begin{eqnarray*} R(x)=\frac{<(\sum_{j=1}^n~a_{1j}x_{j}, ... , \sum_{j=1}^n~a_{nj}x_{j}),(x)>}{\mid x \mid^2 } = \frac{\sum_{i,j=1}^n~a_{ij}x_{i} x_{j}}{\mid x \mid^2 } \end{eqnarray*}$

Is des soweit richtig, und wie mach ich jetzt da die Ableitung, des is ja dann kompliziert.

$\begin{eqnarray*} d_{k}R(x) = \frac{\mid x \mid^2 (2a_{kk}x_{k}\sum_{j=1}^n~a_{kj} x_{j}+\sum_{i=1}^n~a_{ik} x_{i})-2x_{k}\sum_{i,j=1}^n~a_{ij}x_{i} x_{j}}{\mid x \mid^2 } \end{eqnarray*}$

So komm ich da nicht weiter???

Wenns überhaupt stimmt.

10.01.2008, 18:23

Woaze

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Hallo irgend jemand in diesem Großen Forum, der mir weiter helfen kann?

11.01.2008, 08:42

Woaze

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Hallo, Weiß irgend wer, ob meine Ableitung stimmt, ich bin doch ein sehr sozialer

11.01.2008, 13:13

Woaze

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Was hab ich falsch gemacht, hab ich gegen irgendwelche Forumsregeln verstoßen?

11.01.2008, 22:50

Abakus

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Zitat:

Original von Woaze
Was hab ich falsch gemacht, hab ich gegen irgendwelche Forumsregeln verstoßen?

Nur Geduld bitte.

Was du da betrachtest, nennt sich Rayleigh-Koeffizient. Ich würde versuchen, nacheinander 2 Dinge zu zeigen:

1. die Eigenvektoren (falls existent) sind kritische Stellen

und

2. alle Nicht-Eigenvektoren sind keine kritischen Stellen

Grüße Abakus smile

14.01.2008, 17:11

Woaze

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Das kann ich aber nicht zeigen, wenn ich nicht weiß wie man den Gradienten berechnet unglücklich

14.01.2008, 21:20

Abakus

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Zitat:

Original von Woaze
Das kann ich aber nicht zeigen, wenn ich nicht weiß wie man den Gradienten berechnet unglücklich

Angenommen $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist ein EV zum EW $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , dann ist gesucht:

$\begin{eqnarray*} (\frac{\partial}{\partial x_i} f)(v) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(v+he_i) - f(v)}{h} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du loslegen und die Definition von f einsetzen; dann benutzen, dass $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein EV ist und das Skalarprodukt bestimmte Eigenschaften hat, usw.

Grüße Abakus smile

15.01.2008, 01:40

WebFritzi

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RE: Gradient

Zitat:

Original von Woaze
Gegeben ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} R:\mathbb R^n ohne \{ 0\} \Rightarrow R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(x):=\frac{<Ax,x>}{\mid x \mid^2} \end{eqnarray*}$ , wobei A die n x n Matrix ist und <Ax,x> das Skalarprodukt.

Grauenhafte Aufgabenwiedergabe. Zudem hast du Informationen vorenthalten.

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