part.Integration

29.05.2005, 18:32

Mef-Fem

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part.Integration

Hey ihr alle!

Also wir sollen die Stammfunktionen der Integranden durch partielle Integration berechnen von folgendem:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~x^{2}\cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich cos(x) u' setze ist dann sin(x) x^2 schon die Stammfunktion? Oder muss ich den 2.ten Teil wieder partiell Integrieren? Nur dann bekomm ich dass cos ja nie weg...
Könnte es durch substitution funktionieren? Oder verstehe ich einfach den Begriff Stammfunktion nicht richtig.
Danke für eure Antworten schonmal

Mef

29.05.2005, 18:39

brunsi

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RE: part.Integration
schreib doch hier mal bitte deine lösungsschritte rein, dann überprüfen wir, wo ein fehler ist.

mfg dennis

29.05.2005, 18:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mef-Fem
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~x^{2}\cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich cos(x) u' setze ist dann sin(x) x^2 schon die Stammfunktion?

Nein, du musst schon die Regel beachten:

$\begin{eqnarray*} \int~uv'~\mathrm{d}x=uv-\int~u'v~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ .

Also gilt bei dir:

$\begin{eqnarray*} \int~x^2\cos x~\mathrm{d}x=x^2\sin x-\int~(x^2)'\sin x~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ableiten schaffst du oder? Dann erhältst du ein neues Integral und bei dem musst du dann nochmal partiell integrieren mit $\begin{eqnarray*} v'=\sin x \end{eqnarray*}$ ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

29.05.2005, 18:45

Mef-Fem

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$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~x^2/cos(x)~dx \end{eqnarray*}$
x^2 = v
cos(x)= u'

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sin(x) x^{2} - \int_{ }^{ }~sin(x)/2x~dx \end{eqnarray*}$

Hab dich damit die Stammfunktion schon gefunden oder muss ich weiter integrieren?

29.05.2005, 18:47

Mef-Fem

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Die / sollen Multiplikationen sein...hab noch Probs mit dem Formeleditor

29.05.2005, 18:50

brunsi

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du musst jetzt noch einmal mit partieller intergartion verfahren, aber nur bei diesem Intergal:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~sin(x)/2x~dx \end{eqnarray*}$

und zwar so wie MSS das schon vorgeschlagen hatte.

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29.05.2005, 18:53

Mef-Fem

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Dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \sin(x) x^{2} - cos(x) 2x + sin(x) \end{eqnarray*}$
das ist dann die Stammfunktion??

29.05.2005, 18:55

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mef-Fem
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~x^2/cos(x)~dx \end{eqnarray*}$
x^2 = v
cos(x)= u'

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sin(x) x^{2} - \int_{ }^{ }~sin(x)/2x~dx \end{eqnarray*}$

Hab dich damit die Stammfunktion schon gefunden oder muss ich weiter integrieren?

Zuallererst wäre ein "=" besser als der $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und du solltest dir merken: Du musst immer solange weiter integrieren, bis kein Integral mehr vorkommt, dann hast du eine Stammfunktion! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Übrigens nicht die Stammfunktion, sondern, wie gesagt eine. Es gibt nämlich unendlich viele Stammfunktionen.

edit: Nein, da ist ein Vorzeichenfehler drin und dann noch ein kleinerer Fehler. Zeig mal dein Rechenweg!

Gruß MSS

29.05.2005, 18:59

Mef-Fem

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Aber in diesem Fall sind es die 3 Summanden oder?

Wenn ich mit dem gleichen Verfahren folgende Aufgabe versuche zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~sin(3x)e^x ~dx \end{eqnarray*}$

Komm ich nicht weiter weil e^x nicht wegfällt...hat jemand einen Tipp?
Danke

29.05.2005, 19:01

Mathespezialschüler

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Wir machen erstmal die andere Aufgabe zu Ende!!! Also zeig mal deinen Weg!

Gruß MSS

29.05.2005, 19:03

Mef-Fem

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Achso der Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~x^2cos(x)~dx = sin(x)x^2 - \int_{ }^{ }~sin(x)2x~dx = sin(x)x^2 - - cos(x)2x - \int_{ }^{ }~-cos(x)~dx = sin(x)x^2- cos(x)2x+ sin(x) \end{eqnarray*}$

29.05.2005, 19:07

brunsi

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@MSS: wenn ich bei nachfolgendem integral u=sin(x) wähle, dann kürzt sich das eigenartigerweise weg, wieso? was hab ich dann??

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~sin(x)/2x~dx \end{eqnarray*}$

ich bekomme da dann 0= .... raus, aber das kann ich dann ja nirgends einsetzen oder??

29.05.2005, 19:10

Mathespezialschüler

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Du hast doch da "--" und das ist gleich +!
Außerdem ist die Ableitung von 2x nicht 1, sondern 2, also:

$\begin{eqnarray*} \int~x^2\cos x~\mathrm{d}x=x^2\sin x - \int~2x\sin x~\mathrm{d}x=x^2\sin x-\left(-2x\cos x-\int~-2\cos x~dx\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x^2\sin x-(-2x\cos x+2\sin x)=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x \end{eqnarray*}$

Alles klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: @brunsi
Lass mich bitte den Thread erstmal zu Ende führen, ich versteh auch im Moment nicht, was du meinst!

Gruß MSS

29.05.2005, 19:13

Mef-Fem

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Ach klar.... vielen Dank..
und das ist jetzt eine Stammfunktion....also das alles....
Gibt es noch andere berechenbare?? Wenn ich zb ein anderes v' wähle??

29.05.2005, 19:19

Mathespezialschüler

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Ja, das ist eine Stammfunktion! Eine andere erhältst du durch Addition einer bel. Konstanten! Also würdest du höchstens eine andere Darstellung finden, wenn du irgendwie anders partiell integrierst. Oder das würde nicht so richtig klappen, das ist auch möglich.
Und zu

$\begin{eqnarray*} \int~\sin(3x)\operatorname{e}^x~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Da musst du wieder partiell integrieren, und zwar zweimal mit $\begin{eqnarray*} v'=\operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

29.05.2005, 19:33

Mef-Fem

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Dann würde ich aber folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~e^xsin(3x)~dx = e^xsin(3x)- \int_{ }^{ }~e^xcos(x)~dx = e^xsin(3x)- (e^xcos(3x)- \int_{ }^{ }~e^x-sin(3x)~dx \end{eqnarray*}$

und das mit sin und cos ginge immer so weiter

29.05.2005, 19:40

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mef-Fem
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~e^xsin(3x)~dx = e^xsin(3x)- \int_{ }^{ }~e^xcos(x)~dx = \end{eqnarray*}$

und das mit sin und cos ginge immer so weiter

Hier hast du die Kettenregel vergessen! Wende die erstmal an! Und du hast Recht, das würde immer so weiter gehen. Aber nach zweimaligem partiellen Integrieren kann man einen Trick anwenden! Also verbesser erstmal das mit der Kettenregel! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Übrigens musst du Klammern setzen!

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x-\sin(3x) \end{eqnarray*}$ ist etwas anderes als $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x(-\sin(3x)) \end{eqnarray*}$ ! Das erste ist Subtraktion, das zweite Multiplikation!

Gruß MSS

29.05.2005, 19:51

Mef-Fem

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$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~e^xsin(3x)~dx = e^xsin(3x)- \int_{ }^{ }~e^xcos(3x)3~dx = e^xsin(3x)-(e^xcos(3x)- \int_{ }^{ }~e^x[-3sin(3x)]~dx \end{eqnarray*}$

Was für ein Trick?

29.05.2005, 19:52

Mef-Fem

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mom...hab was falsch gemacht...glaube nicht das der letzte teil mit 3cos etc stimmt.....partielle integration mit 3 faktoren?

29.05.2005, 19:54

Mef-Fem

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und hab die 3 vor cos(3x) nach der ersten klammer vergessen

29.05.2005, 19:57

Mathespezialschüler

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Du hast vergessen, die 3 mitzunehmen!
Guck mal:

$\begin{eqnarray*} \int~\operatorname{e}^x\sin(3x)~\mathrm{d}x=\operatorname{e}^x\sin(3x)-\int~\operatorname{e}^x\cdot\ 3\cos(3x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\operatorname{e}^x\sin(3x)-\left(3\cdot \operatorname{e}^x\cos(3x)-\int~3\cdot \operatorname{e}^x\cdot\ 3\cdot (-\sin(3x))~\mathrm{d}x\right)=\operatorname{e}^x\sin(3x)-3\cdot \operatorname{e}^x\cos(3x)-9\int~\operatorname{e}^x\sin(3x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Klar, woher die 3en kommen? Und jetzt hast du die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \int~\operatorname{e}^x\sin(3x)~\mathrm{d}x=\operatorname{e}^x\sin(3x)-3\cdot \operatorname{e}^x\cos(3x)-9\int~\operatorname{e}^x\sin(3x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Addiere mal auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} 9\int~\operatorname{e}^x\sin(3x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ !! Dann hast du's fast Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

29.05.2005, 20:04

Mef-Fem

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Steht jetzt links ne 10 vor dem Integral?? bekomme ich die noch weg wenn ich die rechte Seite durch 10 teile?

Schonmal vielen Dank

29.05.2005, 20:08

Mathespezialschüler

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Ja genau! Jetzt hast du

$\begin{eqnarray*} 10\int~\operatorname{e}^x\sin(3x)~\mathrm{d}x=\operatorname{e}^x\sin(3x)-3\cdot \operatorname{e}^x\cos(3x) \end{eqnarray*}$

und jetzt musst du die ganze Gleichung durch 10 teilen.

Gruß MSS

29.05.2005, 20:09

Mef-Fem

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Ok hier noch ein abschliessendes Danke

29.05.2005, 20:13

Mathespezialschüler

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Bitte schön! Augenzwinkern

Augenzwinkern

@brunsi
Du kannst jetzt deine Frage stellen, wenn du möchtest. Wenn sie aber nicht so viel mit dem Thread zu tun hat, dann solltest du dafür ein neues Thema aufmachen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

29.05.2005, 20:45

brunsi

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danke,a ber die frage hat sich schon geklärt MSS ich hab meinen fehler schon gefunden, hatte nämlich einen Grad der Potenz zu wenig. anstatt x^3 hatte ich nur x^2 und dann käme da irgend nen blödsinn raus.

aber trotzdem dvielen dank.

P.S.: ich schau mir auch mal deinen thread an mit dem wo du [latex] \sqrt{t^{2}+1} stehen hattest. scheint aber ne menge rechenarbeit zu sein.

gruß dennis

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