Analytische Definition der Ableitung

29.05.2005, 19:20

skup

Analytische Definition der Ableitung

Hallo zusammen!

die geometrische Defintion von Ableitungen ist mir völlig klar (Steigung der Tangente an der differenzierten Stelle a).
Doch was ist genau unter analytischer Definition zu verstehen? Die Erläuterungen hierzu sind in der Literatur ein wenig Abstrakt. Es ist die Rede von der "punktuellen Änderungsrate". Kann das jemand hier am besten anhand eines konkreten Beispiels erklären?

Dank im Voraus,

skuppy

29.05.2005, 19:26

Mathespezialschüler

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Die analytische Definition geht über den Begriff des Grenzwerts. Die Ableitung ist einfach der Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der eine Punkt auf den anderen läuft. Deshalb interpretiert man die Ableitung ja auch als Steigung der Tangente!
Also:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt differenzierbar im Punkt $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ , wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \xi}\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi} \end{eqnarray*}$ existiert. Im Falle der Existenz heißt dieser Grenzwert Ableitung der Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und wird mit $\begin{eqnarray*} f'(\xi) \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Dazu äquivalent ist, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert. Er ist der gleiche wie oben, nur in einer anderen Schreibweise. Auch er ist dann $\begin{eqnarray*} =f'(\xi) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

29.05.2005, 20:14

skup

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Das heißt also, dass die analytische Definition aus der geometrischen erwächst? Denn die Formeln, die du gepostet hast, sind ja nix anderes als die 2-Punkteform, also die Steigung der Sekante, die durch "Wanderung von S nach P" zur Tangente wird.

29.05.2005, 20:18

Mathespezialschüler

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Nein, nicht unbedingt. Das ist halt die allgemein bekannte analytische Definition. Aber sie muss nicht aus der geometrischen Bedeutung entstanden sein. Wenn man will, kann man sie geometrisch deuten, allerdings darf man das für Beweise nicht benutzen.
Und die Ähnlichkeit kommt einfach dadurch zustande, dass die geometrische Deutung eben die Steigung der Sekanten sind ...

Gruß MSS

30.05.2005, 09:57

skup

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hm.
- kann mir jmd in diesem zusammenhang die "mittlere änderungsrate" erklären?

-wo liegt denn dann der unterschied zwischen geom. und analyt. definition der abl.?

gruß

30.05.2005, 10:14

Frooke

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Zitat:

- kann mir jmd in diesem zusammenhang die "mittlere änderungsrate" erklären?

Ja, das ist die mittlere Stiegung zwischen 2 Punkten eines Graphen: Also die Sekantensteigung.
$\begin{eqnarray*} m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$
Dabei sind die beiden betreffenden Punkte P(x_1|y_1) und Q(x_2|y_2)

Zitat:

-wo liegt denn dann der unterschied zwischen geom. und analyt. definition der abl.?

Hat MSS doch grad gesagt: Geometrisch ist es die Steigung der Tangenten an die Funktion und analytisch ist es der oben genannte Grenzwert!

=>> Und dennoch musst Du bedenken, dass zweimal die selbe Sache definiert wird... (wenn auch über andere Wege)

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