partialbruchzerlegung-> variable fällt weg?

29.05.2005, 21:47

pape

partialbruchzerlegung-> variable fällt weg?

Hi!
Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x^3-3x}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

Um das zu integrieren habe ich erst Polynomdivision gemacht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x+8+\frac{40x+32}{x^2-4x+4} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt nur den letzten Teil (den Bruch) betrachten und integrieren möchte mache ich das mit partialbruchzerlegung so:

$\begin{eqnarray*} \frac{40x+32}{(x-2)(x-2)}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-2)}=\frac{A(x-2)+B(x-2)}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$
nur den Zähler betrachtet:
$\begin{eqnarray*} Ax-2A+Bx-2B=x(A+B)+(-2A-2B) \end{eqnarray*}$

So!
Nun folgt aus dem:
$\begin{eqnarray*} x(A+B)+(-2A-2B)=40x+32 \end{eqnarray*}$
das:

$\begin{eqnarray*} A+B=40 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2A-2B=32 \end{eqnarray*}$
nun löse ich die erste Gleichung nach B auf:
$\begin{eqnarray*} B=40-A \end{eqnarray*}$
und setze es in die zweite ein:
$\begin{eqnarray*} -2A-2(40-A)=32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2A-80+2A=32 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist jetzt, dass im nächsten Schritt das A rausfallen würde...

wie löst man das?

29.05.2005, 21:52

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von pape
$\begin{eqnarray*} \frac{40x+32}{(x-2)(x-2)}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-2)} \end{eqnarray*}$

Der Ansatz ist falsch, wähle besser

$\begin{eqnarray*} \frac{40x+32}{(x-2)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

29.05.2005, 22:03

pape

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alles klar!
Dankeschön Augenzwinkern

warum komme ich selbst nicht daruf...? traurig

aus A=40, B=30 erhält man dann diese Brüche:
$\begin{eqnarray*} \frac{40}{x-2}+\frac{30}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

wobei man den ersten einfach normal mit 40*ln|x-2| integrieren kann und den zweiten durch substitution mit z=g(x)=x-2 auf f(z)=30*1/z^2 bringen kann.
Dann F(z)=30*(-1/z) und resubstituieren: 30*(-1/x-2)

danke nochmal!

pape

29.05.2005, 22:08

Mathespezialschüler

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A=40 und B=30 sind aber nicht richtig! Rechne nochmal nach! Augenzwinkern

Gruß MSS

29.05.2005, 22:20

pape

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mist.. ich hab nen A wegfallen lassen.. grml..

stimmt das denn so?

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

dann ersten Bruch erweitern mit x-2:

$\begin{eqnarray*} \frac{A*(x-2)}{(x-2)^2}+\frac{B}{(x-2)^2}=\frac{A(x-2)+B}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

Nur den Zähler betrachtet:

$\begin{eqnarray*} 40x+32=A(x-2)+B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 40x+32=Ax-2A+B \end{eqnarray*}$
woraus diese beiden Gleichungen resultieren:
$\begin{eqnarray*} 40=A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2A+B=32 \end{eqnarray*}$
->B=32+80=112

oder?

29.05.2005, 22:22

Mathespezialschüler

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Ja, so ist's richtig! Freude

Gruß MSS

29.05.2005, 22:29

pape

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und weiter gehen würde es so:

man kann den ersten Bruch einfach normal mit 40*ln|x-2| integrieren und den zweiten durch substitution mit z=g(x)=x-2 auf f(z)=112*1/z^2 bringen.
Dann F(z)=112*(-1/z) und resubstituieren: 112*(-1/x-2)

richtig?

danke nochmal!

pape

29.05.2005, 22:31

Mathespezialschüler

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Ja, richtig! Aber du musst noch Klammern setzen:

Zitat:

Original von pape
112*(-1/x-2)

112*(1/(x-2)) Augenzwinkern

Gruß MSS

29.05.2005, 22:54

pape

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ja des is klar ,, war nur so "dahin geschmiert"... Augenzwinkern