leicht konfuse Parabelmaximierung

11.03.2004, 12:58	Silencer	Auf diesen Beitrag antworten »
leicht konfuse Parabelmaximierung Moin, letztens ist mir beim Angucken von Klasse 11 Aufgaben eine nette Idee gekommen, wie man so eine Extremwertaufgabe etwas komplexer gestalten könnte - und komme nu selber nicht mehr weiter : Wir nehmen uns eine Hauswand, an diese Hauswand wird ein parabelförmiges Gestell aus Draht gestellt, welches einen Hühnerstall oder sowas bilden soll... Man hat halt 10 Meter Draht zur Verfügung und darf die Parabel beliebig verschieben und strecken, um die Fläche zu maximieren... Ich bin dann also beigegangen und habe mir als Wert, den ich verändere, den Abstand des Scheitelpunktes genommen und will dann also die Streckung der Parabel abhängig davon ausrechnen und damit dann auch das Integral abhängig davon ausrechnen, um dann so eine Funktionen zu erhalten, die man dann maximieren kann... Die Nullstellen habe ich mir als erstes ausgerechnet, weil man die für das Integral braucht... Ich habe also als Funktion der Parabel erstmal folgendes Definiert: y = cx^2 - k und habe als Nullstellen dann erhalten: $\begin{align} \mp\sqrt{\frac{k}{c}} \end{align}$ Dann habe ich noch eine Funktion, um mir die Bogenlänge zu berechnen, aber jetzt leider keine Zeit mehr in der Freistunde, den ganzen Rest aufzuschreiben - editiere ich dann gleich, wenn ich wieder zu hause bin Edit: und weiter gehts.. Ich habe also als Bogenlänge Diese formel: $\begin{align} l=\Bigint_{b}^a~\sqrt{1+(g(x))^2} \end{align}$ wobei g(x) die Ableitung der Funktion ist, also ist die formel in meinem Falle ja: $\begin{align} l=\Bigint_{-\sqrt{\frac{k}{c}}}^{\sqrt{\frac{k}{c}}} ~\sqrt{1+(2cx)^2} \end{align}$ und mit aufgelöster klammer: $\begin{align} l=\Bigint_{-\sqrt{\frac{k}{c}}}^{\sqrt{\frac{k}{c}}} ~\sqrt{1+4c^2x^2} \end{align}$ wenn ich das ganze nun integriere, komme ich auf folgendes: $\begin{align} \[\sqrt{(1+4c^2x^2)^3}~\] \end{align*}$ Die Grenzen sind wie beim Integral oben, krieg ich aber mit Mimetex nicht hin Naja, dann ist, wie oben gesagt, l = 10, aber wenn ich diese Gleichung auflöse komme ich auf 10 = 0.. Kann da mal jemand gucken, ob er auf das gleiche Ergebnis kommt wie ich, oder ob das am Ende gar nicht geht? MfG, Silencer
12.03.2004, 15:56	Drödel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: leicht konfuse Parabelmaximierung Nette Idee, Silencer! Leider hast du dich beim Integrieren vertan. Du schreibst: .... $\begin{align} \Bigint \sqrt{\(1+4c^2x^2\)} \end{align}$ wenn ich das ganze nun integriere, komme ich auf folgendes: $\begin{align} \sqrt{ \(1+4c^2x^2\)^3 } \end{align}$ .... Nur ist das Integral $\begin{align} \Bigint \sqrt{\(1+4c^2x^2\)} dx \end{align}$ ist ein wenig komplizierter, nämlich : $\begin{align} \frac{ln(4c^2x^2+1)+2cx}{4c} + \frac{x \cdot (4c^2x^2+1)}{2} \end{align}$ Noch ne Frage hätte ich dann: Wieso integrierst du von $\begin{align} -\sqrt{\frac{k}{c}} \end{align}$ bis $\begin{align} \sqrt{\frac{k}{c}} \end{align}$ und nicht von 0 bis $\begin{align} \sqrt{\frac{k}{c}} \end{align}$ . Sollte die x-Achse nicht deine Hauswand sein und daran eine halbe Parabel "angelehnt" sein? Happy Mathing
12.03.2004, 16:20	Silencer	Auf diesen Beitrag antworten »
also die Parabel ist komplett, aber du bringst mich auf eine Idee - man kann ja von 0 bis $\begin{align} \sqrt{\frac{k}{c}} \end{align}$ integrieren und das ganze dann mit 2 Malnehmen, weil eine Parabel ja symmetrisch ist... Aber trotzdem sieht das ganze böse aus o0

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