Nilpotent

30.05.2005, 08:44	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotent Hallo zusammen, gegeben sei mal wieder ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit einem Endomorphismus $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist nun, dass es eine Zerlegung $\begin{eqnarray} V = N \oplus U \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} f\|_N \end{eqnarray}$ nilpotent und $\begin{eqnarray} f\|_U \end{eqnarray}$ invertierbar ist und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ f-invariante Unterräume sind. Nilpotent war doch, dass es ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} f^{n} = 0 \end{eqnarray}$ ? Aber wie gehe ich denn da jetzt ran? Was wären denn das z.B. für Unterräume? Danke im Voraus, Stefan
30.05.2005, 11:24	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} ker(f)\subset ker(f^2)\subset\dots\subset ker(f^k)\subset\dots\;. \end{eqnarray}$ Ich nehme mal an, der Raum V soll endlichdimensional sein. Sonst gilt die Behauptung nämlich nicht. Es gibt dann ein $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} ker(f^a) = ker(f^{a+k}) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\ge 0 \end{eqnarray}$ . Wähle dann $\begin{eqnarray} N = ker(f^a)\quad\text{ und }\quad U = Im(f^a)\;, \end{eqnarray}$ und zeige die Behauptung.
30.05.2005, 18:26	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Webfritzi, danke, das war es, was ich als Ansatz brauchte. Gruß, Stefan

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