Textaufgabe Baumtransport

10.01.2008, 09:58

tim taler

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Textaufgabe Baumtransport

Hallo @ all,

habe hier noch eine von den netten Textaufgaben gefunden. Bin mir aber nicht sicher ob es soweit passt, vielleicht könnte mal jmd. drüberschauen.

Aufgabe:
300 Baumstämme sollen von 4 LKW transportiert werden, wobei der erste LKW 5, der zweite sechs, der dritte 7 und der vierte LKW 8 Stämme laden kann. Die Anzahl der Fahrten aller 4 LKW zusammen soll 42 betragen. Wie oft muss jeder der LKW fahren wenn die Anzahl der Fahrten des ersten und des vierten LKWs zusammen genommen genauso groß ist wie die des zweiten und dritten LKW zusammen. Die LKW sollen stets maximal beladen sein.
Geben Sie alle mögliche Lösungen an, die den Bedingungen der Aufgabe genügen.

Lösung:

Variablenbelegung:
a = Anzahl Fahrten LKW 1
b = Anzahl Fahrten LKW 2
c = Anzahl Fahrten LKW 3
d = Anzahl fahrten LKW 4

Gleichungen aus dem Text:

(1) 5a +6b +7c +8d = 300
(2) a +b +c +d =42
(3) a+d=b+c

Dies ergibt folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 5 & 7 & 8 |300 \\ 1 & 1 & 1 & 1 |42 \\ 1 & -1 & -1 & 1 |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 |42 \\ 1 & -1 & -1 & 1 |0 \\ 5 & 6 & 7 & 8 |300 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 |42 \\ 0 & -2 & -2 & 0 |-42 \\ 0 & 1 & 2 & 3 |90 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 |42 \\ 0 & 2 & 2 & 0 |42 \\ 0 & 0 & 1 & 3 |69 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4= x_4 \\ x_3 = 69 - 3x_4 \\ x_2= 3x_4 - 48 \\ x_1= 21- x_4 \end{eqnarray*}$

soweit habe ich mal vereinfacht, allerdings habe ich noch nicht die Bedingung der maximalen Beldaung berücksichtigt. Wo muss ich das mit einbauen?

Gruss, tt

10.01.2008, 11:28

Dual Space

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RE: Textaufgabe Baumtransport
Soweit so gut. Allerdings ist mir ein Rätsel, wie du von der letzten Matrix auf die vier Gleichungen kommst. Dabei meine ich also folgenden Schritt:

Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 |42 \\ 0 & 2 & 2 & 0 |42 \\ 0 & 0 & 1 & 2 |169.8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4= x_4 \\ x_3 = 169.8 - 2x_4 \\ x_2= -127.8 + 2x_4 \\ x_1= 3x_4 \end{eqnarray*}$

10.01.2008, 12:01

tim taler

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RE: Textaufgabe Baumtransport
Nun ich habe x4 gleich x4 gesetzt um die drei anderen Unbekannten in Abhängigkeit von x4 zu bestimmen.
x3 kann man dann direkt ablesen. Dann habe ich das abgelesene x3 in Gleishung 2 eingesetzt und x2 erhalten. Dann wurde x2 und x3 in Gleichung (1) eigesetzt um letztlich x1 zu bestimmen. Aber keine Ahnung ob ich dabei nicht schon die Bedingung hätte andwenden müssen?

10.01.2008, 12:13

Dual Space

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RE: Textaufgabe Baumtransport

Zitat:

Original von tim taler
Nun ich habe x4 gleich x4 gesetzt um die drei anderen Unbekannten in Abhängigkeit von x4 zu bestimmen.

Häh ... wozu setzt man x4=x4? Das ist eine Tautologie. verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 13:04

tim taler

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RE: Textaufgabe Baumtransport
Das ist es wohl.
Wie hätte ich es denn machen müssen?

10.01.2008, 13:27

mYthos

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Nein, es ist in diesem Fall keine Tautologie, denn es liegen nur 3 Gleichungen, aber 4 Variable vor. Daher kann man durchaus eine Variable belassen und die anderen drei durch sie ausdrücken. Das ist eigentlich ein gängiger Weg. Wenn dies jemandem aber nicht ganz exakt erscheint, kann er auch x4 = t setzen und alles in t ausdrücken, das ist die mathematisch exakte und einwandfreie Methode.

mY+

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10.01.2008, 13:38

tim taler

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Hallo Mythos,

denkst Du weiterhin das die Resultate somit richtig sind?

Gruss, tt

10.01.2008, 13:42

Dual Space

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Zitat:

Original von mYthos
Nein, es ist in diesem Fall keine Tautologie, ....

Für welche $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung $\begin{eqnarray*} x_4=x_4 \end{eqnarray*}$ denn falsch?

10.01.2008, 13:45

riwe

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peter = mythos ist eine tautologie, bei $\begin{eqnarray*} x_4 =x_4 \end{eqnarray*}$ ist es eine frage der definition $\begin{eqnarray*} A\vee\neg A \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

10.01.2008, 13:47

riwe

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Zitat:

Original von tim taler
Hallo Mythos,

denkst Du weiterhin das die Resultate somit richtig sind?

Gruss, tt

ich habe dir eine pn geschickt unglücklich

unglücklich

10.01.2008, 14:27

mYthos

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Über die Resultate habe ich keine Aussage getroffen und diese auch nicht nachgerechnet. Mir ging es ausschließlich um die Berechnungsmethode von Gleichungssystemen, bei denen weniger Gleichungen als Variable vorhanden sind und ob in diesem Zusammenhang x4 = x4 eine Tautologie ist. Wen dies stört, kann ja mit x4 = t weiterrechnen.

PN habe ich bis jetzt keine erhalten!

mY+

10.01.2008, 15:01

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
Über die Resultate habe ich keine Aussage getroffen und diese auch nicht nachgerechnet. Mir ging es ausschließlich um die Berechnungsmethode von Gleichungssystemen, bei denen weniger Gleichungen als Variable vorhanden sind und ob in diesem Zusammenhang x4 = x4 eine Tautologie ist. Wen dies stört, kann ja mit x4 = t weiterrechnen.

PN habe ich bis jetzt keine erhalten!

mY+

entschuldige,
das ist ein mißverständnis, da ist sozusagen der holzwurm drin unglücklich

unglücklich

die pn habe ich an tt geschickt

10.01.2008, 16:56

mYthos

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Hallo Tim,

keine weiteren Fragen mehr ??

Bleibe doch einfach bei der Bezeichnung a, b, c, d, statt der x1, x2, ... .
Dein Ansatz-Gleichungssystem ist richtig, jedoch die Weiterverarbeitung nicht. Deine Lösungen kann ich nicht nachvollziehen.

Wie schon richtig angedacht, kannst du eine Variable belassen bzw. mit einem anderen Parameter bezeichnen. Machen wir das - wie schon bei x4 - bei der 4. Variablen d. Wir könnten also d = t setzen. Da die Fahrten sinnvollerweise ganzahlig sein sollen, setzen wir später (wie nachträglich dies als erforderlich zu ersehen)

$\begin{eqnarray*} [ d = 2t ] \end{eqnarray*}$

Aus der Subtraktion der letzten beiden Gleichungen erhalten wir

$\begin{eqnarray*} a + d = 21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 21 - d \end{eqnarray*}$

mittels Multiplikation der 2. Gleichung mit 5 und diese dann von der ersten subtrahieren ->

$\begin{eqnarray*} c = \frac{90 - 3d}{2} \end{eqnarray*}$

In der dritten Gleichung eingesetzt führt dies zu

$\begin{eqnarray*} b = \frac{-48 + 3d}{2} \end{eqnarray*}$

Im Grunde sind dieselben Umformungen an der Matrix durchzuführen, damit du die gleichen Beziehungen erhältst.

Aus dem Grunde der Ganzzahligkeit der Fahrten setzen wir nun vorausschauend d = 2t , und $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , damit sinnvolle Lösungen entstehen bzw. sich die Brüche egalisieren.

Du musst allerdings die Werte für t weiter einschränken, damit a, b, c, d natürliche Zahlen bleiben.

Jetzt ist es zur endgültigen Lösung nicht mehr weit.

mY+

10.01.2008, 17:16

tim taler

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so schnell geb ich doch nicht auf :-)

Habe oben die Matrizen verbessert und die Gleichungen, da ich es nochmal zur Kontrolle neu gerchnet habe.

wir sehen Beziehung 3 die da sagt, dass x3 = 69 - 3x4. Nun gut daraus schließe ich, da ganzzahlig und positiv vorrausgesetzt dass x4 kleiner gleich 23 sein muss!

nun schaue ich auf Beziehung 2, die sagt mir nun x2 = 3x4 - 48. Folglich muss x4 grösser gleich 16 sein. Somit ist 16 die untere Schranke und die 23 aus Beziehung 1 bis hier die obere.

letztlich sehe ich dann noch Beziehung 1 mit x1 = 21 - x4. Wenn x1 nicht kleiner Null werden soll, darf x4 höchstens 21 gross sein. Somit ist nun 21 obere Schranke.

aus diesen Beziehungen folgt das 16 kleiner gleich x4 und x4 kleiner gleich 21.

Nun muss ich nur noch einsetzen.
Für x4 = 16,17,18,19,20,21.

Es gibt also 6 mögliche Lösungen die den Bedingungen genügen. OK?

Schöne Grüße

10.01.2008, 19:45

mYthos

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Auch wenn du meine Lösungen nicht akzeptierst, stimmen deine trotz deiner Korrektur nicht. Setze deine allg. Lösung mal in die 1. Gleichung ein.

mY+

11.01.2008, 11:06

tim taler

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RE: Textaufgabe Baumtransport
natürlich akzeptiere ich Deine Resultate, ich war nur schon am verbessern und habe dann den eingeschlagenene Weg beibehalten.
Der Werner hatte mir gestern eine pn mit den Lösungen geschickt und wenn ich die Gleichungen von oben löse komme ich genau auf die gleichen Resultate. Ich weiß beim besten Willen nicht wo hier noch ein Fehler steckt...

Gruss, tt

11.01.2008, 11:57

mYthos

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Welche Lösungen welchen Gleichungssystemes werner dir gesendet hat, weiss ich nicht. Es könnte u.U. auch ein Angabefehler drinnenstecken. Jedenfalls ist die von dir letztgenannte Lösung dieses Gleichungssystemes, welches ich hier in der Angabe sehe, nicht richtig. Hast du diese - wie vorgeschlagen - eigentlich schon in die erste Gleichung eingesetzt? Und? Erhältst du eine wahre Aussage, d.h. ist die Probe* richtig?

mY+

*
$\begin{eqnarray*} 5(21 - x_4) + 5(3x_4 - 48) + 7(69 - 3x_4) + 8x_4 = 300 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 105 - 5x_4 + 15x_4 - 240 + 483 - 21x_4 + 8x_4 = 300 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x_4 + 348 = 300 \end{eqnarray*}$

Und das sollte für alle $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ gelten.
____________

Und noch etwas, was unschön ist:

In deinen Ansatzgleichungen sind die Variablen eindeutig mit a, b, c, d bezeichnet. Dann kann man nicht unterwegs auf einmal mit x1, x2, .. , x4 weiterrechnen, sondern sollte die einmal gewählten Variablennnamen beibehalten!

mY+

11.01.2008, 14:38

tim taler

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das war nix, mom

EDIT: Hatte da was durcheinander gebracht, sorry.
Mit den Variablenbezeichnungen gebe ich Dir vollkommen Recht, habe das bei den ganzen Aufgaben einfach durcheinander gewürfelt.
Die Aussage -3x4 + 348 = 300 passt ja nur wenn x=16.

11.01.2008, 14:43

mYthos

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Bevor ich mich da vertiefe:

In der ersten Matrix, ganz oben, soll 300 stehen (es sind doch 300 Baumstämme), du hast jetzt auf einmal 302 dort stehen.....

Schreibfehler?
Das andere muss ich erst durchgehen.

mY+

Ähhhm, futsch isser (der Beitrag) Big Laugh

Big Laugh

Einen weiteren Fehler haben wir beide übersehen, wie ich gerade bemerkt habe:

Zitat:

Original von tim taler
...
Gleichungen aus dem Text:

(1) 5a +6b +7c +8d = 300
(2) a +b +c +d =42
(3) a+d=b+c

Dies ergibt folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 5 & 7 & 8 |300 \\ 1 & 1 & 1 & 1 |42 \\ 1 & -1 & -1 & 1 |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
...

Die erste Zeile der Matrix in deinem noch gestern korrigierten Beitrag ist immer noch falsch:

$\begin{eqnarray*} 5 \ \ 5 \ \ 7 \ \ 8 \end{eqnarray*}$

währenddessen sie laut Angabentext

$\begin{eqnarray*} 5 \ \ 6 \ \ 7 \ \ 8 \end{eqnarray*}$

lauten sollte. Es war also doch ein (Ab-)Schreibfehler! Saudumm, dass das übersehen wurde!

Mit dieser anderen Prämisse ist nun:

$\begin{eqnarray*} a = 21 - d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 3(d - 16) = 3d - 48 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 3(23 - d) = 69 - 3d \end{eqnarray*}$

Ich denke, das war es, was dir schon vorher werner "gesteckt" hat Big Laugh

Big Laugh

Das ist nun richtig und auch so, wie du es schon zum Schluss gepostet hast.

Sorry for any inconvenience!
---------------
Aus den drei Resultaten für a, b, c, welche in d ausgedrückt sind, folgt für die Sinnhaftigkeit der Werte (wenn 0 Fahrten ausgeschlossen werden sollen):

d < 21
d > 16
d < 26

Also muss d zwischen 17 und 20 liegen. Daraus ergeben sich die Werte für die anderen Variablen.

11.01.2008, 15:40

riwe

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dann stell ich´s halt hier auch noch rein
der holzwurm unglücklich

unglücklich

12.01.2008, 10:53

tim taler

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Oh ja da steckte der Fehler also. Ich muss mich dafür entschuldigen, ich hoffe der freie Nachmittag gestern hat der Konzentration gut getan...
Nun ist mir noch eine Sache aufgefallen. Mythos sagt das dsa d zwischen 17 und 20 liegt.
Da aber auch 0, so denke ich, als Element der Lösungsmenge möglich ist, dh wenn einer gar nicht fährt, sieht die Lösungsmenge von d bei mir wie folgt aus.

$\begin{eqnarray*} 16\leq d\leq 21 \end{eqnarray*}$

damit werden nun 6 Konstellationen möglich:

d=16,17,18,19,20,21

damit komme ich auf

d=16, c=21, b=0, a=5
...
...
d=21, c=6, b=15, a=0

Das wäre nun der letzte Unterschied den ich hier feststelle.

Schöne Grüße

12.01.2008, 13:50

mYthos

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Ich habe zunächst 0 Fahrten ausgeschlossen (bitte nachlesen)!
Aber wenn 0 Fahrten bei einem LKW auch zugelassen sind, stimmt das natürlich; die Werte sind auch in der Tabelle von werner nachzulesen.

Gr
mY+

12.01.2008, 15:33

tim taler

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Ok dann passts nun!
Danke euch beiden herzlich für Eurer Bemühen !!!

Schöne Grüße

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