endliche summe

30.05.2005, 17:26

flixgott

endliche summe

ich bin beim lösen einer aufgabe auf folgendes problem gestossen:

$\begin{eqnarray*} n* \sum_{k=1}^{n-1}~{ \frac{1}{k+1}} = ? \end{eqnarray*}$

kann mir jemand die formel für folgende summe nennen:
(ich bin mir eigentlich sicher, dass es dafür genauso ein gibt wie für die ntürlichen zahlen, die quadratzahlen und andere potenzen..)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}~{ \frac{1}{k}} = ? \end{eqnarray*}$

danke!

30.05.2005, 17:31

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich weiß, gibt es keine genaue Summenformel dieser Summe als "ein Term". Du kannst aber diese Näherungsformel verwenden, wenn du das möchtest! Augenzwinkern

Gruß MSS

30.05.2005, 17:40

flixgott

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich mich so recht erinnere, dann hast du wahrscheinlich recht.. leider hilft mir die nährung nicht, denn ich will eigentlich folgendes berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (n* \sum_{k=1}^{n-1}~{ \frac{1}{k+1}}) \end{eqnarray*}$

also ich bin gerade selbst zu dem schluß gekommen, dass $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ rauskommen muß (jedenfalls ist das die korrekte lösung meine aufgabe)!

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)

30.05.2005, 17:59

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hättest du das doch gleich gesagt! Augenzwinkern

Da kommt doch $\begin{eqnarray*} \infty\cdot \infty \end{eqnarray*}$ raus, was wahrlich kein unbestimmter Ausdruck ist.
Übrigens hätte dir auch die Näherungsformel geholfen, es ist nämlich stets

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k}>\ln n+\gamma \end{eqnarray*}$ .

Aber es geht ja auch auf einem einfacheren Weg. Augenzwinkern

Gruß MSS

30.05.2005, 18:01

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht übrigens auch in dem Wikipediaartikel, selbst ohne den Faktor n:

Zitat:

Die harmonische Reihe ist ein Begriff aus der Mathematik. Sie bezeichnet die unendliche Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \end{eqnarray*}$

Sie ist divergent, da die harmonische Reihe gliedweise grösser als oder gleich gross wie die Vergleichsreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} =& 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots\\ =& 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots \end{eqnarray*}$

ist, welche klar divergiert.

30.05.2005, 18:05

flixgott

Auf diesen Beitrag antworten »

jaja ich weiss, erst denken, dann posten.. ich hab halt nur versucht ein lebegue integral nach schema f ohne denke zu lösen..

danke an alle!

Neue Frage »

Antworten »

endliche summe

Verwandte Themen