Jordan Normalform + Diagonalissierbar

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Krümel Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan Normalform + Diagonalissierbar
Hallöchen...

Also ich sitze über folgender Aufgabe:
A = (4,4)

a: Für welche c C ist A diagonalisierbar ?
b: Wie lautet die Jordansche Normalform für A falls A nicht diagonaliserbar ist?

Also, wie man prüft ob eine Matrix diagonaliserbar ist weiß ich, nur kann ich mir nicht vorstellen, dass ich das für verschiedene c ausprobieren soll. Nehme an, dass ich irgendwie Tomaten auf den Augen habe...
Hat vielleicht jemand nen Tip wie man diese Aufgabe geschickt lösen kann?

Mit b habe ich um ehrlich zu sein noch größere Probleme, da ich die Jordan Normalform noch nicht mal berechnen kann.
Habe im Gerd Fischer nachgelesen, aber nach dem Schritt der Berechnung der verallgemeinerten Eigenräume versteh ich nix mehr...

Bin für jede Hilfe dankbar...
Lieben Gruß Krümel
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dich beruhigen: Die Matrix ist über C stets diagonalisierbar (insofern ist b) irrelevant). Das sieht man für c=0 sofort, und für alle anderen c an der charakteristischen Gleichung.
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Wollt nun grad anfangen das charakteristische Polynom etc. zu berechen, aber ich hab zur sicherheit nochmal eine Frage, nicht das ich dich falsch verstehe:
Sehe das richtig, dass A in Bezug auf c immer Diagonaliserbar ist??? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme doch erstmal die charakteristische Gleichung und dann deren Lösungen, dann siehst du die Diagonalisierbarkeit: Sie hat nämlich vier echt verschiedene Eigenwerte, zumindest für c ungleich Null.
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder...

Also ich habe nun das charakteristische Polynom ausgerechnet:
,
das gilt ja wenn c ungleich 0 ist.

Nur was meinst du jetzt mit 4 echt verschiedene Eigenwerte?
Weiß irgendwie nicht wie ich weiter machen soll...
Oder recht jetzt als Antwort zu schreiben, dass es vollständig in Linearfaktoren zerfällt und entsprechend diagonaliserbar ist?

Für c = 0 bekommt man ja eine Nullmatrix raus und entsprechend ist auch in diesem Fall die Diagonalisierbarkeit gegeben, oder ?

Somit ist wäre b doch bereits beantwortet, da immer diagonalisierbar.
Hoffe bin nicht ganz auf dem falschen Weg Gott
AD Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Ich komme auf .
 
 
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du wohl recht...
Mal wieder schneller geschrieben als gedacht.
Trotzdem bleibt mein Problem ???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sämtliche Eigenwerte voneinander verschieden sind, dann ist die Matrix diagonalisierbar, das solltest du eigentlich wissen! Und hier hast du die vier Eigenwerte c, -c, ic und -ic, für die genau das zutrifft.
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, ob man das nun wissen sollte ist relativ.
Ich kann damit leider grad nix anfangen.
Auch wenn du das Wissen voraussetzt wäre ich über eine kleine Erklärung dankbar! Schließlich würd gern das ganze verstehen und nicht nur die Hälfte...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mal etwas Eigenwerttheorie in C: Zu jedem Eigenwert gibt es die algebraische Vielfachheit (d.h. die Vielfachheit der Wurzel der charakteristischen Gleichung) und die geometrische Vielfachheit (das ist die Dimension des zu gehörenden Eigenraums, anders formuliert: die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu ).

Nun hat aber jeder Eigenwert mindestens einen Eigenvektor, genauer: Es gilt . Eine Matrix A ist nun genau dann diagonalisierbar, wenn sie eine Basis aus Eigenvektoren besitzt, und die existiert genau dann, wenn für alle k gilt.

Die Situation bei sämtlich verschiedenen Eigenwerten ist nun aber denkbar einfach: Dann ist nämlich für alle k, und damit zwangsläufig auch , und folglich nach obiger Charakterisierung A diagonalisierbar - fertig.

Sollte eigentlich in jeder Algebra-Vorlesung, wo über Eigenwerte gesprochen wird, erwähnt werden!
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

O.k., das mit der Vielfachheit war mir sicherlich bekannt.
Nur danach kann ich dir leider nicht mehr folgen, vorallem haben wir Diagonaliserbarkeit nicht so einfach definiert wie du gerade eben.

Deshalb kann ich deiner einfachen Schlußfolgerung auch nicht ganz folgen. Werd mir das nochmal näher anschauen.

Kannst du mir aber vielleicht noch sagen, ob meine Schlußfolgerung für b richtig ist?
das lemma Auf diesen Beitrag antworten »
Algebra
also

dannkommst du auch auf arthur dents eigenwerte. richtig arthur oder lieg ich da falsch?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Krümel
vorallem haben wir Diagonaliserbarkeit nicht so einfach definiert wie du gerade eben.

Wer spricht von Definition - das oben ist eine Folgerung aus der "Diagonal"-Eigenschaft der Diagonalmatrix.

Zitat:
Original von Krümel
Oder recht jetzt als Antwort zu schreiben, dass es vollständig in Linearfaktoren zerfällt und entsprechend diagonaliserbar ist?

Das ist natürlich eine falsche Aussage! Nach dieser Theorie wäre wegen des Fundamentalsatzes der Algebra jede Matrix über C diagonalisierbar. Dann könnten wir die Jordansche Normalform gleich einstampfen. Ist aber leider nicht so. smile
Roboo779 Auf diesen Beitrag antworten »

Tip von unserem tutor!
Wenn c=0, dann ist a nicht diagonalisierbar. Klar dann ist vierfacher Eigenwert Null! Also ist er nicht voneinader verschieden. Ausserdem wäre es doch viel zu schwer, wenn man dann Aufgabe b mit irgendeinem biliebigen c Lösen müsste, oder?

<Gruss
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, schade...
Denn mir wurde gesagt, dass wenn c = 0, dann hat man ja eine eine Nullmatrix und entpsrechend wäre das ganze wieder diagonalisierbar.
Ich versteh deinen Einwand, aber irgendwie ist es sehr verwirrend wenn jeder was anderes erzählt...
Mal schauen was ich da nun drauß mache unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roboo779
Tip von unserem tutor!
Wenn c=0, dann ist a nicht diagonalisierbar. Klar dann ist vierfacher Eigenwert Null!

Dann muss dein Tutor zur Nachschulung: Eigenwerte mit Vielfachheit größer 1 führen nicht automatisch zu nichtdiagonalisierbaren Matrizen! Erst wenn für ein solches die Eigenschaft (siehe meine Bezeichnungen oben) gilt, liegt keine Diagonalisierbarkeit vor.

Und hier im konkreten Fall liegt dein Tutor voll daneben: Im Fall c=0 gilt für den vierfachen Eigenwert die Eigenschaft , also Diagonalisierbarkeit, die Diagonalmatrix ist dann übrigens die Matrix selbst. Ich denke schon, dass man der Nullmatrix ansieht, dass sie diagonal ist... Augenzwinkern


P.S.: Richtig erkannt, Krümel. Freude
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE !!!
Ich glaube, dass ich es jetzt soweit alles verstanden habe.
Zur Sicherheit hier nochmal das Wichtigste:

1. Ich rechne das charakteristische Polynom aus:
= 0

Nach der Umformung die das Lemma vorgenommen hat, erhalte ich
4 EW für die A diagonaliserbar ist, denn algebraische Vielfachheit=
geometrische Vielfachheit.

2. Der zweite Fall ist c = 0, es sind also alle EW 0. Diese sind zwar nicht
voneinander verschieden, aber die Bedignung algebraische Vielfachheit
= geometrische Vielfachheit in diesem Fall = 4 ist gegeben.
Zwar handelt es sich um eine Nullmatrix, aber auch diese sind
diagonalisierbar.

Deshalb folgt für den Teil b, dass es keine EW gibt für die A nicht diagonaliserbar ist.

Auch wenn das vielleicht schon alles hier stehen sollte, wäre es lieb wenn sich das nochmal einer anguckt und mir bestätigt, dass ich nun endlich auf dem richtigen Weg bin.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gute Zusammenfassung! Freude
Kati4965 Auf diesen Beitrag antworten »

Frage: wie kommt ihr auf:
x^4 - c^4

(-c)*(-c)*(-c)*(-c) ist (c)^4, oder ??????
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und? Inwiefern widerspricht das dem obigen charakteristischen Polynom?
thealmighty Auf diesen Beitrag antworten »

so, jetzt misch ich mich mal in diesen, wie ich sagen möchte tollen thread ein!

für den Fall :

Arthur meinte, dass
und die geometriosche Vielfahheit (sprich: die linear unabhängigen Eigenvektoren zu ) ist.

Um die Eigenvektoren von zu berechnen muss man doch die Gleichung lösen!

Jetzt sind alle , woraus doch folgt, dass man nur einen Eigenvektor bekommt, oder nicht?

also und dann ist nicht diagonalisierbar!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Nullmatrix und Eigenwert Null sind alle (!) Vektoren des Vektorraums auch Eigenvektoren. Ich denke schon, dass sich aus diesen dann vier linear unabhängige finden lassen... Big Laugh


P.S.: Wie kommen Leute eigentlich auf die Idee, dass eine Diagonalmatrix (wie die Nullmatrix) nicht diagonalisierbar sein könnte? Ist mir unbegreiflich! unglücklich
thealmighty Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh, jetzt ist es endlich klar!!!!

naja, diese Kiste mit beliebig usw. ist für anfänger etwas verwirrend.
Beliebig ist so .... schwammig!


ach ja, hab ich euch schon für diesem wirklich klasse thread gefeiert?

Holla Die Waldfee...
Roboo Auf diesen Beitrag antworten »

Zugabe:
Man betrachte, dass für C=o ein vierfacher Eigenwert herauskommt, für c=unendlich kommen vier verschiedene Eigenwerte heraus:
X=C
X=-C
X=i C
X= - i C
nach der Definition für Diaonlaisierbarkeit, wäre also C= Unedliche diagonliserbar, wenn es die passenden Eigenvektoren für T^-1*A*T gibt.

Also, wäre C=0 die Lösung für dein Problem!
Man beachte den Eigenraum:
E(0)=(x element C/ x=(t,s,r,q) element C)
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