Komplexe Matrizen

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Sephiroth Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Matrizen
Hallo

Z1 = A + iB und Z2 = C +iD

sind Komplexe Matrizen also Matrizen deren Koeffizienten komplexe Zahlen
sind.

A, B, C und D dagegen reelle Matrizen, also Matrizen deren Koeffizienten reelle Zahlen sind.

i ist die imaginäre Zahl

Z1 * Z2 = (A + iB) (C + iD) = A(C + iD) + iB(C + iD) =

AC + AiD + iBC + iBiD = AC + iAD + iBC - BD = (AC - BD) + i(AD + BC) = Z3

soweit so gut.

Ich habe bisher vier Matrizenmultiplikationen

1 AC, 2 BD, 3 AD und 4 BC

Ich such aber nun eine Umformung bei der ich nur 3 Matrizenmultiplikationen benötige. Dabei ist egal wieviele zusätliche Additionen bzw. Subtraktionen von Matrizen zusäzlich benötigt werden Hauptsache ich habe am Schluss nur 3 Multiplikationen.

Jemand vielleicht eine Idee?
ddfsdf Auf diesen Beitrag antworten »
bfs
nichts leichter als das, es gibt 4 Möglichkeiten :
Z3 = (AC - BD) + i(AD + BC)

= A*(C+iD) - B*D + iB*C
= B*(-D+iC) + A*C + iA*D
= (A+iB)*C - BD + iA*D
= (-B+iA)*D +A*C + iB*C
Sephiroth Auf diesen Beitrag antworten »

Jein.

Was was ich vergessen hab.

Alle Matrizen sind quadratisch also alle nXn-Matrizen.
Und die Multiplikationen sollen ausschließlich zwischen den reellen Matrizen stattfinden.

Also A*D ja, i*B*C auch ok, aber so was in der Art A*(C+iD)
ist nicht ok.


Aber trotzdem Danke für den Versuch
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme sogar mit einer Multiplikation aus, allerdings von doppelt so großen Matrizen:



Sicher nicht dass, was dir vorgeschwebt hat. smile

Im Ernst: Außer in Spezialfällen (wie etwa Quadrierung von komplexen Matrizen) wirst du kaum um die vier Multiplikationen herumkommen.
dfg Auf diesen Beitrag antworten »
dfg
Nette Idee Arthur, so wie ich das Verstanden habe geht es nur um die Darstellung, nicht um die tatsächlich ausgeführten Multiplikationen, deswegen hab ich deine Idee zur Lösung benutzt :



Das sind schonmal 2 Multiplikationen, eine davon auflösen und schon sind es 3:

Sephiroth Auf diesen Beitrag antworten »

Auszug aus der Aufgabenstellung:

Beschreiben Sie geeignete Datenstrukturen und einen zugehörigen Algorithmus zur Multiplikation
zweier komplexwertiger (n X n)-Matrizen mittels 3n^3 reeller Multiplikationen und 3n 3 + O(n 2 )
reeller Additionen und Subtraktionen.

Die Aufgabe besteht nun darin,
die Multiplikation von reellen Zahlenpaaren (a; b) * (c; d) auf entsprechende
Matrizenpaare (A; B) * (C; D) geeignet zu übertragen,

- die Korrektheit des Verfahrens nachzuweisen (!)
- und dabei die Komplexitätsanforderungen der Aufgabe zu erfüllen.


Die Multiplikation von reellen Zahlenpaaren (a; b) x (c; d)
ist die Multiplikation von komplexenzahlen: also

(a +ib) * (c + id) = (ac - bd) + i(bc +ad) = (a; b) * (c; d) = (ac - bd; bc + ad)



Also kommt es serwohl auf die tatsächlichen Multiplikationen an.

Aber trotzdem gute idee.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt ist bei mir der Groschen gefallen:

AD + BC = (A+B)(C+D) - (AC+BD)

Wink
Sephiroth Auf diesen Beitrag antworten »

ja so was hab ich mir irgendwie vorgestellt.

Kannst du mir vielleicht noch bei der Umformung ein wenig unter die Arme greifen?

(AC - BD) + i(AD + BC) = (A + iB) (C + iD)

i(AD + BC) = (A + iB)(C + iD) - (AC - BD)

1/i = -i ???

AD + BC = -i(A + iB)(C + iD) + i(AC - BD)

und nun wie bekommst du die ganzen i weg??


Ach so

AD + BC =(A + B)(C + D) - (AC + BD) = A(C + D) + B(C + D) - (AC + BD)

= AC + AD + BC + BD - AC - BD = AD + BC w.z.z.w

Hammer

schlauer Fuchs! wie kommt man auf so was?

That`s was it. merci
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh nicht ganz, was das soll! Wir sind doch jetzt bei

(A + iB) (C + iD) = (AC - BD) + i(AD + BC) = (AC - BD) + i(EF - AC - BD)

mit E = A+B und F = C+D, die Additionen machen dir ja nix aus laut obiger Aussage. Und wir kommen mit drei nxn-Matrix-Multiplikationen aus: AC, BD und EF.

Was gibt es da jetzt noch für Probleme? verwirrt
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