zwei Aufgaben zu Untervektorräumen |
| 30.05.2005, 19:26 | Fink | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| zwei Aufgaben zu Untervektorräumen ich habe folgende Schwierigkeiten. 1. Seien U1 und U2 Untervektorräume mit U1,U2 c V und außerdem U1-U2:={u-v|u e U1, v e U2}. Gilt U-U={o} mit o als Nullvektor? Da ja jede lineare Hülle ein Untervektorraum ist, habe ich mir gedacht, daß es auch eine lineare Hülle für U geben muß, so daß U=L(u1,...,un) gilt. Dabei ist doch u=a1*u1+...+an*un, oder? Dann würde sich U-U={(a1*u1+...+an*un)|ai e IR, i e IN} - {(a1*u1+...+an*un|ai e IR, i e IN}={(a1*u1+...+an*un)-(a1*u1+...+an*un)|ai e IR, i e IN}={0} ergeben. Stimmt das? Gilt U-U={0} oder U-U={o}, oder vielleicht weder noch? 2. Es gelten dieselben Voraussetzungen wie bei 1., allerdings soll ich jetzt folgendes beweisen oder widerlegen: U1+U2=U1uU2 <-> U1 c U2 oder U2 c U1. Zu "<-" habe ich mir gedacht, daß wenn U1 c U2 gilt die Vereinigung U1uU2=U2 sein muß. Mit U1=L(u1,...,un) und U2=L(v1,...,vn) wäre dann U1+U2=L(u1,...,un)+L(v1,...,vn)=L(u1,...,un,v1,...,vn)=L(v1,...,vn)=U2, da ja (u1,...,un) in (v1,...,vn) enthalten ist. Also wäre dann tatsächlich U1+U2=U1uU2. Dasselbe würde analog mit U2 c U1 funktionieren. Zu "->" ist mir noch nicht so richtig was eingefallen. Aber stimmt der Rest? Oder was habe ich falsch gemacht? Und wie geht es richtig? Vielleicht kann mir ja irgendjemand von Euch helfen. Gruß Fink |
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| 30.05.2005, 19:39 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo zunächst mal: - ist bei vektorräumen nicht definiert.... u-v bedeutet dabei u+v', mit v' inverser vektor zu v das sollte aber dazu gesagt werden. danach: U-U={0} gilt nur, wenn U selbst schon der triviale unterraum {0} war. also: gegenbeispiel |
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| 30.05.2005, 19:56 | Fink | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du meinst, wenn U={o} gilt. {0} ist doch nicht gleich {o}, oder (0:=null, o:=Nullvektor)? Stimmt es denn, daß u=a1*u1+...+an*un gilt? Ich frage mich, was bei U-U rauskommt, eine Menge mit Vektoren oder eine Menge mit reellen Zahlen? Und was ist mit der 2. Aufgabe? :-( |
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| 30.05.2005, 19:57 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
0 ist mein nullvektor
setz hier doch mal U für U1 und U2 ein in die definition......
Mr. Ungeduld, warum nicht eine aufgabe nach der anderen lösen? 
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| 30.05.2005, 20:07 | Fink | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, dann setze ich mal ein. U1-U2={u-v|u e U1, v e U2} --> U-U={u-u|u e U} Aber warum ist eigentlich {u-u} nicht stets {o}? |
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| 30.05.2005, 20:27 | Fink | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, zu U muß es ja auch Basisvektoren geben, die U erzeugen. Diese Vektoren sind in meiner linearen Hülle L, so daß gilt U=L(u1,...,un), wobei u1,...,un die Basisvektoren sind. Das heißt doch auch, daß U=L(u1,...,un)={a1*u1+...+an*un|a e IR} eine Menge voller Vektoren ist, die durch die Basisvektoren erzeugt werden, wobei a die reellen Zahlen durchläuft. In der Vorlesung haben wir folgendes aufgeschrieben: U=L(u1,...,un), V=L(v1,...,vn) --> U+V=L(u1,...,un)+L(v1,...,vn)=L(u1,...,un,v1,...,vn). Wenn U=L(u1,...,un) gilt, was ist dann -U? Gilt -U=-L(u1,...,un)=L(-u1,...,-un)? |
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| 30.05.2005, 20:43 | Fink | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich wüßte, was -U ist, dann könnte ich bei der Berechnung von U-U vielleicht die obige Gleichung verwenden: U+V=L(u1,...,un)+L(v1,...,vn)=L(u1,...,un,v1,...,vn). Dann würde ich halt mit U-U=U+(-U)=L(u1,...,un)+L(???)=... anfangen und rein rechnerisch dahinter kommen, daß U-U nicht {o} ist, es sei denn, es gilt U={o}. Mir ist irgendwie nicht ganz klar, warum U-U nicht immer die Menge ist, die nur den Nullvektor enthält. |
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| 31.05.2005, 15:50 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab das mal korrigiert und dabei deine schreibweise verwendet eingesehen, dass das was anderes ist? |
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| 31.05.2005, 18:54 | Fink | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh, ja. Alles klar. Damit ist Aufgabe 1 eigentlich auch schon geklärt. |
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| 31.05.2005, 23:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zur 2. aufgabe:
ja, sicher, diese richtung ist die triviale zu "->": widerspruchsbeweis; nehme an, es gälte weder die eine noch die andere teilmengenbeziehung, dann gäbe es ein element u mit.... und ein element v mit...... dann..... |
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