Voraussetzungen für Stetigkeit

10.01.2008, 18:29

Mulder

Voraussetzungen für Stetigkeit

Okay, einmal noch. Augenzwinkern

Also, man hat zwei Funktionen f, g $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Nun soll ich untersuchen, unter welchen Vorraussetzungen f stetig ist.

a) $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq |x| ,x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ und es gelte: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq g(x-y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Unser Tutor sagte schon, dass die Aufgabe nicht ganz einfach ist... also so ganz spontan würde ich dem auch beipflichten. Augenzwinkern

Nun gut...

Zu a): So, wie ich das sehe, ist das kein Argument für Stetigkeit. Nur weil der Funktionswert kleiner als das Argument ist, können in der Funktion ja trotzdem beispielsweise Sprünge auftreten, oder? Dann wäre sie ja schon nicht mehr stetig...
Falls das zutrifft, fehlt dann noch ein Gegenbeispiel. Aber da würde mir dann vielleicht noch was einfallen. Viel schlimmer ist Aufgabe b)!

Inwiefern der Grenzwert von g da eine Rolle spielen soll, kann ich mir überhaupt nicht vorstellen... unglücklich

10.01.2008, 18:39

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Voraussetzungen für Stetigkeit

Zitat:

Original von Mulder

a) $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq |x| ,x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

[...]
Zu a):Nur weil der Funktionswert größer als das Argument ist,

was denn jetzt? größergleich oder kleinergleich?

10.01.2008, 18:40

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Voraussetzungen für Stetigkeit
Ups, kleinergleich! Änder ich um, sorry.

So, wie es in der Gleichung steht, ist es richtig.

10.01.2008, 18:41

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

ok.

wenn du die vermutung hast, dass daraus nicht stetigkeit folgt, dann versuche eine funktion zu konstruieren, welche die eigenschaft in a) erfüllt, aber nicht stetig ist.

10.01.2008, 18:43

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmowenn du die vermutung hast, dass daraus nicht stetigkeit folgt, dann versuche eine funktion zu konstruieren, welche die eigenschaft in a) erfüllt, aber nicht stetig ist.

Ja, das versuche ich ja im Moment. Ich denke, das wird schon irgendwie hinhauen. Das größere Problem ist wie gesagt Aufgabenteil b) ...

10.01.2008, 18:45

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

nimm bei der a) das nullpolynom und lasse den funktionswert irgendwann an der stelle 503460 mal aus der reihe tanzen Augenzwinkern

zu b) mit dem epsilon-delta-kriterium ist das schnell gelöst. dein tutor hat gelogen Big Laugh

10.01.2008, 18:49

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmonimm bei der a) das nullpolynom und lasse den funktionswert irgendwann an der stelle 503460 mal aus der reihe tanzen Augenzwinkern

Nullpolynom? Öhm... *blättert in den Aufzeichnungen*

Zitat:

Original von tmozu b) mit dem epsilon-delta-kriterium ist das schnell gelöst. dein tutor hat gelogen Big Laugh

Naja, das ist dann wohl selektive Wahrnehmung. Wenn ich mich da ran setze, ist sie sicher sooo schnell nicht gelöst. Augenzwinkern

Du meinst, dass ich dann die Bedingungen, die ich habe, in das Epsilon-Delta-Kriterium einsetze und dann... ja dann...

Ich schau mal... Augenzwinkern

10.01.2008, 19:02

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

mal eine anschauliche erklärung zur b), damit du schon mal weißt, ob du stetigkeit oder unstetigkeit zu zeigen hast:

wenn x nur nahe genug an y ist, dann ist x-y ja sehr nahe an 0. gegen was strebt dann also $\begin{eqnarray*} g(x-y) \end{eqnarray*}$ ?

mit nullpolynom meine ich f(x)=0

10.01.2008, 19:10

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmowenn x nur nahe genug an y ist, dann ist x-y ja sehr nahe an 0. gegen was strebt dann also $\begin{eqnarray*} g(x-y) \end{eqnarray*}$ ?

Hmm... gegen 0 dann. Und das trifft dann auch auf |f(x)-f(y)| zu?

Zitat:

Original von tmomit nullpolynom meine ich f(x)=0

*g*

Okay... und den soll ich jetzt an irgendeiner Stelle aus der Reihe tanzen lassen? Mal versuchen...

10.01.2008, 19:37

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

klar, zwangsläufig muss dann auch $\begin{eqnarray*} |f(y)-f(x)| \end{eqnarray*}$ gegen null gehen, denn dieser ausdruck ist ja zwischen der null und $\begin{eqnarray*} g(x-y) \end{eqnarray*}$ eingeklemmt für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ...

ums ordentlich aufzuschreiben muss du eben noch kurz sagen dass du dir ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgibst und dann eben dein $\begin{eqnarray*} \delta=g(x-y) \end{eqnarray*}$ wählst und dass dann wg den vorgegebenen gleichungen die stetigkeit folgt...

aus der reihe tanzen wäre zb wenn man für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\neq 503460 \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ definiert und dann aber $\begin{eqnarray*} f(503460)\neq0 \end{eqnarray*}$ , also zb $\begin{eqnarray*} f(503460)=1 \end{eqnarray*}$

10.01.2008, 19:46

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
klar, zwangsläufig muss dann auch $\begin{eqnarray*} |f(y)-f(x)| \end{eqnarray*}$ gegen null gehen,

Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von system-agentaus der reihe tanzen wäre zb wenn man für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\neq 503460 \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ definiert und dann aber $\begin{eqnarray*} f(503460)\neq0 \end{eqnarray*}$ , also zb $\begin{eqnarray*} f(503460)=1 \end{eqnarray*}$

Ja, dass sie sich so verhält, muss ja so sein. Ich warnur auf der Jagd nach einer Funktionsgleichung. Aber ich werde das einfach mit Worten definieren...

Danke dir auch. smile

10.01.2008, 21:32

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von system-agent
klar, zwangsläufig muss dann auch $\begin{eqnarray*} |f(y)-f(x)| \end{eqnarray*}$ gegen null gehen,

Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \end{eqnarray*}$

das ist das selbe. $\begin{eqnarray*} |a-b| = |b-a| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von system-agent

ums ordentlich aufzuschreiben muss du eben noch kurz sagen dass du dir ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgibst und dann eben dein $\begin{eqnarray*} \delta=g(x-y) \end{eqnarray*}$ wählst und dass dann wg den vorgegebenen gleichungen die stetigkeit folgt...

mit diesem delta bin ich nicht einverstanden.

denn warum sollte denn aus $\begin{eqnarray*} |x-y|<g(x-y) \end{eqnarray*}$ folgen, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq g(x-y) < \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt? oder irre ich mich da?

viel mehr muss man solch ein delta gar nicht selbst angeben, sondern ist es wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ schon gegeben.
Denn sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Dann gibt es nach vorraussetzung ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(r)=|g(r) - 0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |r| < \delta \end{eqnarray*}$

10.01.2008, 21:49

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast recht, eigentlich müsste man ein bischen anders argumentieren...

jedenfalls kann man ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ so finden, dass $\begin{eqnarray*} g(x-y)<\epsilon \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ und dann folgt die stetigkeit...danke für den hinweis smile

10.01.2008, 21:56

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mulder
Ja, dass sie sich so verhält, muss ja so sein. Ich warnur auf der Jagd nach einer Funktionsgleichung. Aber ich werde das einfach mit Worten definieren...

Eine normale stückweise definierte Fkt. tuts doch:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}0\qquad x \in \mathbb R \setminus \{50123\}\\1\qquad x = 50123\end{cases} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Voraussetzungen für Stetigkeit

Verwandte Themen