Beweis eines Binomialgleichung anhand Erzeugender Funktionen?

30.05.2005, 23:48	Asgaroth	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis eines Binomialgleichung anhand Erzeugender Funktionen? Hallo... mal wieder ne Frage: Beweisen sie, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} m+n \\ n \end{pmatrix} = \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} m+k-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m,n \in \mathbb N , n \geq 1 \end{eqnarray}$ indem sie die Identität $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-X)^{m+1}} = \frac{1}{(1-X)^{m}} \frac{1}{(1-X)} \end{eqnarray}$ benützen. Ich hab hier in meinen aufzeichnungen die erzeugende Funktion: $\begin{eqnarray} \sum_{n \in \mathbb N}~ \begin{pmatrix} m+n-1 \\ n \end{pmatrix}X^{n} = \frac {1}{(1-X)^{m}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{n \in \mathbb N}~ \begin{pmatrix} c \\ n \end{pmatrix}X^{n} = (1+X)^{c} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} c \in \mathbb C \end{eqnarray}$ Die indizes sind ja anders, sonst könnt ich irgendwie mit $\begin{eqnarray} X^{n} \end{eqnarray*}$ erweitern oder? Wie komm ich denn vom einen aufs andere am besten? Irgendwelche Ideen (nur mal zum Anfang der Aufgabe, kann wenn ich den Ansatz hab auch selber weiterrechnen) Vielleicht hat das aber auch gar nichts mit der erzeugenden Funktion zu tun... wenn jemand ne andere Idee hat wie man die Identität benutzen kann dann kann er ja einfach schreiben... MfG Asgaroth

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