Integral einer e-Funktion

10.01.2008, 20:57	L (Ryuzaki)	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral einer e-Funktion Hallo, Ich habe folgende Aufgabe : Teil a) Gegeben sind der Graf $\begin{eqnarray} K=f(x)=(2-x)e^x,x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ und deswegen auch der Graf $\begin{eqnarray} K'=f'(x)=(1-x)e^x,x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Die Graphen K und K', die Y-Achse und die Gerade g mit der Gleichung x = z mit z < 0 begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(z). Berechnen sie $\begin{eqnarray} A(z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{z\to-\infty} A(z) \end{eqnarray}$ . Also die Gerade ist eine senkrechte, rechts der Y-Achse gelegen, so etwas kann man ja nicht so gut plotten lassen, aber das ist denke Ich klar. Also ist folgendes gesucht : K : $\begin{eqnarray} \int_{z}^{0}~(2-x)e^x~dx \end{eqnarray}$ K' : $\begin{eqnarray} \int_{z}^{0}~(1-x)e^x~dx \end{eqnarray}$ Stammfunktion mit partieller Integration sehr leicht zu berechnen und von K' ist diese ja K. K : $\begin{eqnarray} [(3-x)e^x]_{z}^0=3-[(3-z)e^z)] \end{eqnarray}$ K' : $\begin{eqnarray} [(2-x)e^x]_{z}^0=2-[(2-z)e^z)] \end{eqnarray}$ Da für z keine konkrete Zahl angegeben ist, sollte dies genügen. Nun zum Grenzwert. K : $\begin{eqnarray} \lim_{z\to-\infty}3-[(3-z)e^z)]=3 \end{eqnarray}$ K' : $\begin{eqnarray} \lim_{z\to-\infty}2-[(2-z)e^z)]=2 \end{eqnarray}$ Teil b) Der Graf K und die X-Achse begrenzen eine nach links offene Fläche. Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Inhalt besitzt. Stammfunktion ist bereits ermittelt, die eine Grenze ist z und die andere die Nullstelle (x = 2). Also : $\begin{eqnarray} \lim_{z\to-\infty}[(3-x)e^x]_{z}^2=e^2-(3-z)e^z=e^2 \end{eqnarray}$ Für K' müsste es dementsprechend wie folgt aussehen, Grenzen sind z und Nullstelle (x = 1) Also : $\begin{eqnarray} \lim_{z\to-\infty}[(2-x)e^x]_{z}=e-(2-z)e^z=e \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig gedacht und gerechnet? Vielen Dank MFG L
10.01.2008, 21:05	L (Ryuzaki)	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah halt, Ich glaube, Ich sehe bereits einen Fehler ^^ Gesucht sind nicht die einzelnen Flächeninhalte sondern die Differenz der beiden, die Fläche zwischen den beiden. Da kann Ich doch einfach die Stammfunktionen voneinander subtrahieren und es sollte das herauskommen, was Ich suche. $\begin{eqnarray} A(z)=1-[(1-z)e^z] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{z\to-\infty}A(z)=1-[(1-z)e^z]=1 \end{eqnarray}$ Ist das so richtig ?
10.01.2008, 21:28	PG	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe jetzt nicht alles nachgeprüft. Aber das Ergebnis von 1FE habe ich auch errechnet.

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