Differenzquotient

10.01.2008, 21:37

oplö

Differenzquotient

Hallo!

Folgende Frage stellt sich mir:
Gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)-f(x0-h)}{2h}=a \end{eqnarray*}$

Ist dann f in x0 differenzierbar mit der Ableitung a?

Intuitiv würde ich sagen das das stimmt. Wenn ich es mir auf male, bleibe ich auch dieser Meinung...wenn ich mir allerdings überlege, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)-f(x0-h)}{2h}=0.5\lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)-f(x0-h)}{h} \end{eqnarray*}$

Dann kann es doch wiedrum nicht stimmen, oder?!

10.01.2008, 21:43

system-agent

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normalerweise nennt man den grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
wenn er existiert, die ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . das was du hingeschrieben hast wird eher in der numerik vernwendet als annäherung an die ableitung:
man gibt sich ein $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ vor (möglichst klein) und lässt den computer dann
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0-h)-f(x_0+h)}{2h} \end{eqnarray*}$
berechnen und man kann zeigen dass dies der "richtigen" ableitung ziemlich gut entspricht

11.01.2008, 01:38

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von system-agent
das was du hingeschrieben hast wird eher in der numerik vernwendet als annäherung an die ableitung:
man gibt sich ein $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ vor (möglichst klein) und lässt den computer dann
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0-h)-f(x_0+h)}{2h} \end{eqnarray*}$
berechnen und man kann zeigen dass dies der "richtigen" ableitung ziemlich gut entspricht

Ich verstehe deinen Beitrag leider nicht so ganz. unglücklich

Worauf willst du hinaus?
Dass dies eine 'ordentliche' Annäherung ist, kann man natürlich beweisen, indem man zeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0) \end{eqnarray*}$

ist, falls $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ existiert.
Allerdings geht es um diese Frage hier gar nicht. oplö fragt nämlich, ob auch die Umkehrung gilt, ob also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, wenn der angegebene Limes existiert. Dies ist allerdings nicht der Fall (s. folgendes Gegenbsp.).

@oplö
Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ und untersuche die Gültigkeit deiner Aussage für $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ !

11.01.2008, 15:36

öplö

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ich bin gerade verwirrt!! Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to b} \frac{f(x_0-h)-f(x_0+h)}{2h} \end{eqnarray*}$ mit deiner Funktion ergibt bei mir 0. Ist ja quatsch, ne?

Allerdings ergibts, wenn ich den "richtigen" Differenzquotienten nehme 1, und das ist ja genauso quatsch?! geschockt

11.01.2008, 18:49

system-agent

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@mss
hatte da wohl iwas falsch verstanden Hammer

@öplö
MSS wollte dir ja genau ein gegenbeispiel liefern, das ganz muss schiefgehen.
er wollte dir zeigen, dass wenn der grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} \end{eqnarray*}$
existiert, dass daraus noch nicht folgt, dass die funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ auch differentierbar ist.
mit dem "richtigen" differentialquotienten kann für $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ gar nix herauskommen (das heisst der grenzwert existiert nicht), sonst wäre die funktion dort ja differenzierbar

11.01.2008, 21:16

Abakus

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Dass dies eine 'ordentliche' Annäherung ist, kann man natürlich beweisen, indem man zeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0) \end{eqnarray*}$

ist, falls $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ existiert.
Allerdings geht es um diese Frage hier gar nicht. oplö fragt nämlich, ob auch die Umkehrung gilt, ob also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, wenn der angegebene Limes existiert. Dies ist allerdings nicht der Fall (s. Gegenbsp. drei Zeilen tiefer).

Ganz genau. Die obige "Ableitung" nennt sich Schwarz'sche Ableitung und diese charakterisiert wohl konvexe/konkave Funktionen.

Grüße Abakus smile

11.01.2008, 21:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Abakus
Die obige "Ableitung" nennt sich Schwarz'sche Ableitung und diese charakterisiert wohl konvexe/konkave Funktionen.

Ah sehr interessant. Ist mir vorher (natürlich) noch gar nicht aufgefallen. Ich nehme mal an, mit "Charakterisierung" meinst du folgende Aussage?

Ist $\begin{eqnarray*} f: (a,b)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ konvex oder konkav, so existiert für jedes $\begin{eqnarray*} x\in (a,b) \end{eqnarray*}$ der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end{eqnarray*}$ .

Das folgt nämlich einfach aus der Tatsache, dass jede konvexe (konkave) Funktion in jedem Punkt rechts- bzw. linksseitig differenzierbar ist.

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