Geschlossenes Kurvenintegral

31.05.2005, 15:16

gast123

Geschlossenes Kurvenintegral

hallo,
hab ein problem mit einer Aufgabe.
Ich hab das geschlossene Kurvenintegral:
$\begin{eqnarray*} \int_{c}^{}~y~dx+x~dy \end{eqnarray*}$

c ist ein geschlossener WEg auf dem umfang eines Kreises mit dem Mittelpunkt (x,y)=(0,0) und dem radius r.
ich soll die Parameter Darstellung x= r*cos(t) und y=sin(t)*r
für 0<t<2pi benutzen
ich soll die formel cos(2alpha)=cos²(alpha)-sin²(alpha) benutzen

mein Ansatz:
hab mir gedacht das r konstant ist im Kreis.
wenn ich jetzt die parameter einsetze bekomme ich doch folgendes:
$\begin{eqnarray*} \int_{c}^{}~r*sin(t)~dt+r*cos(t)dt \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt integriere erhalte ich
$\begin{eqnarray*} [r*(-cos(t))]_{0}^{2\pi} + [r* sin(t)]_{0}^{2/pi} \end{eqnarray*}$

somit wird aus dem linken term wenn ich die Grenzen einsetze
r-r also 0 und der linke term wir wegen dem sinus sowieso null.

31.05.2005, 15:24

derkoch

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warum 2 mal die gleiche sache?
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=17879

ein bißchen geduld

31.05.2005, 17:19

etzwane

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RE: Geschlossenes Kurvenintegral

Zitat:

Original von gast123
mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \int_{c}^{}~r*sin(t)~dt+r*cos(t)dt \end{eqnarray*}$

Kannst du den Ansatz nochmals überprüfen, es ist doch x=r*cos(t) mit dx=-r*sin(t)*dt, und ähnlich für y.

31.05.2005, 17:31

gast123

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also muss ich da das dx auch umformen wie bei der substitution?

dx=-r*sin(t)
dy=r *cos (t)

richtig??
oder hab ichs jetzt total verpeilt?

31.05.2005, 17:32

Leopold

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Du darfst nicht nur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Terme substituieren, du mußt ebenso die Differentiale $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ ersetzen.

Hinweis für später:
Ich denke, ihr werdet in der Vorlesung noch durchnehmen, daß in einem einfach zusammenhängenden Gebiet das Integral über eine geschlossene Kurve verschwindet, wenn die Differentialform $\begin{eqnarray*} \omega = y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ geschlossen ist. Das ist aber der Fall, denn man berechnet als Cartansche Ableitung $\begin{eqnarray*} \mathrm{d} \omega = \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x + \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = 0 \end{eqnarray*}$

31.05.2005, 17:37

gast123

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nur 2 kurze fragen noch.

1)also um das dx und dy zu ersetzten hab ich das ganze jetzt abgeleitet.
nur zum verständnis. wie komme ich darauf.
2) kann ich r als konstant betrachten?? und nur nach t integrieren oder brauch ich nen doppelintegral?

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