Matrizen

11.03.2004, 21:15	Guest	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen Hallo! Ich hoffe hier kann mir wer helfen!! Hier die Angabe: Zeige mittels vollständiger Induktion: $\begin{align} \(\array{1&2\\0&1&}\)^n = \(\array{1&2n\\0&1}\) \end{align*}$ Ich meine mir ist zwar klar dass es richtig ist aber ich hab keine Ahnung wie ich das mittels vollständiger Induktion zeigen soll!!!!! Wäre echt toll wenn mir wer helfen könnte!! Danke Johann
11.03.2004, 21:35	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Ich hoffe, du weisst, wie ein Beweis mittels vollständiger Induktion im allgemeinen funktioniert. Es geht los mit dem Induktionsanfang, den wir sinnvollerweise bei n=1 ansetzen. Durch Einsetzen (tue das!) sieht man, dass die Gleichung für n=1 richtig ist. Damit ist das Anfang gemacht. Jetzt kommt der Induktionsschritt, der Übergang von n nach n+1. Wir haben also die Induktionsvoraussetzung, dass die Gleichung für eine natürliche Zahl n gilt: $\begin{align} \(\array{1&2\\0&1&}\)^n = \(\array{1&2\cdot n\\0&1}\) \end{align}$ Die Induktionsbehauptung ist, dass die Gleichung für n+1 gilt: $\begin{align} \(\array{1&2\\0&1&}\)^{n+1} = \(\array{1&2\cdot (n+1)\\0&1}\) \end{align}$ Der Induktionsbeweis läuft nun so ab, wie meistens: Wir beginnen mit der linken Seite der Gleichung, und formen sie so um, dass man auf einen Teilterm die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. $\begin{align} \(\array{1&2\\0&1&}\)^{n+1} = \(\array{1&2\\0&1}\) ^n \cdot \(\array{1&2\\0&1}\) = \(\array{1&2\cdot n\\0&1}\) \cdot \(\array{1&2\\0&1}\) \end{align}$ Nun multiplizieren wir den erhaltenen Ausdruck aus: $\begin{align} \(\array{1&2\cdot n\\0&1}\) \cdot \(\array{1&2\\0&1}\) = \(\array{1&2+2\cdot n\\0&1}\) = \(\array{1&2\cdot(n+1)\\0&1}\) \end{align}$ Wir haben die Gleichung für n+1 bewiesen. Damit ist die Gleichung für jede natürliche Zahl n bewiesen. Was zu tun war... Gruss, SirJective
11.03.2004, 22:23	Guest	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Danke! Bin gerade selber drauf kommen!!!! Gedankenblokade!!!! Aber trotzdem vielen vielen Dank!!!!!! mfg Johann

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