Endomorphismen

31.05.2005, 17:06	mcmanic	Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismen Hallo, hab mal wieder nen dickes Problem in LA. Versteh nur Bahnhof. Hier die Aufgabe: Es sein K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum . a) man zeige: für $\begin{eqnarray} \varphi \in Hom_K(V,V) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} Kern(\varphi)\cap Bild(\varphi) = \{0\} \Leftrightarrow Kern(\varphi)+Bild(\varphi)=V \end{eqnarray}$ b) man zeige: Ist $\begin{eqnarray} \varphi \in Hom_K(V,V) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi\varphi=\varphi \end{eqnarray}$ so gilt $\begin{eqnarray} Kern(\varphi)\oplus Bild(\varphi)=V \end{eqnarray}$ Ich hoffe mal ganz stark ihr könnt mir helfen!
31.05.2005, 22:56	dfg	Auf diesen Beitrag antworten »
bla a) $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ bedeutet das die Aussage eine "genau dann wenn" - Beziehung ist. Der Beweis teilt sich in 2 Teibeweise (Implikationen) auf. 1.Teil $\begin{eqnarray} Kern(\phi)\cap Bild(\phi)=\{0\} \Rightarrow Kern(\phi) + Bild(\phi)=V \end{eqnarray}$ der erste Teil ist die Voraussetzung, das kannst du also als gegeben sehen, den zweiten Teil musst du zeigen: Nimm dir jetzt ein $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ . Was kannst du mit den Voraussetzungen folgern? 2.Teil $\begin{eqnarray} I Kern(\phi)\cap Bild(\phi)=\{0\} \Leftarrow Kern(\phi) + Bild(\phi)=V \end{eqnarray}$ Hier genau das selbe nur rückwärts. Ein $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ auswählen und mit den Voraussetzungen folgern. b) Hier ist $\begin{eqnarray} \phi\phi=\phi \end{eqnarray}$ zentral. Mach dir klar was das bedeutet.
01.06.2005, 13:14	mcmanic	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn das mit dem $\begin{eqnarray} \varphi\varphi=\varphi \end{eqnarray}$ gemeint? heist das so viel wie wenn ich eine Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi:V\rightarrow V \end{eqnarray}$ mal $\begin{eqnarray} \varphi:V\rightarrow V \end{eqnarray}$ hab das dann $\begin{eqnarray} \varphi\varphi:V\rightarrow V\rightarrow V\rightarrow V \end{eqnarray}$ entsteht und das wieder das selbe is wie $\begin{eqnarray} \varphi:V\rightarrow V \end{eqnarray}$ ?? Wenn ja wie soll ich das auf die Aufgabe anwenden??
01.06.2005, 13:58	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
01.06.2005, 14:02	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo therisen, warum bitte verschiebst du das von der HöMa weg? das ist eindeutig eine Uniaufgabe und sollte als solche also eigentlich in Höherer Mathematik landen. sicher ist das lineare Algebra, aber das HöMaForum ist eigentlich extra für Uniaufgaben gedacht!
01.06.2005, 16:25	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} \varphi\varphi = \varphi \circ \varphi \end{eqnarray}$ ist die "Hintereinanderausführung" von Abbildungen gemeint. Führt man zwei Abbildungen hintereinander aus ergibt sich eine neue Abbildung. $\begin{eqnarray} \phi : X \to Y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi : Y \to Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi \circ \phi : X \to Z \end{eqnarray}$ Aus Funktionswerte angewendet bedeutet dies: $\begin{eqnarray} \psi \circ \phi : X \to Z, \; x \mapsto \psi(\phi(x)) \end{eqnarray}$ Die zentrale Frage ist also: Welche Abbildungen gibt es überhaupt, die mit sich selbst verknüpft wieder sie selbst sind?
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01.06.2005, 21:09	mcmanic	Auf diesen Beitrag antworten »
Bing ... Danke für den Tip mit den Funktionswerten daran habsch gar nicht gedacht. Da wirds nat. jetzt nicht mehr so schwer!!!
01.06.2005, 21:46	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
@LOED: Die Forenunterteilung ist sowieso total chaotisch... Es gibt hier sehr viele Themen, die HöMa sind und in Lineare Algebra gepostet... Der Vollständigkeit halber dachte ich, dass es vielleicht dort ganz gut aufgehoben ist. Naja, Ansichtssache Gruß, therisen

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