Rotationsvolumen von zusammengesetze Funktion

31.05.2005, 17:17

JayT

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Rotationsvolumen von zusammengesetze Funktion

Hallo!

Gegeben sind die Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ im Intervall ]0;-1] und $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [1;\infty[ \end{eqnarray*}$ . Im Intervall [-1;1] bleibt im Graphen eine "Lücke", die durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades geschlossen werden soll. Diese ganzr. Funktion soll "sauber" an die beiden Exponentialfunktionen anschließen.

Die gesuchte Funktion lautet $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{2e} (-x^2+3) \end{eqnarray*}$ . (Dies ist ivom Lehrer überprüft und korrekt).

Nun zum schwereren Teil: Die zusammengesetze Funktion soll um die y-Achse rotiert werden, und ich soll das zugehörige Volumen berechnen.

Zunächst muss ich die Umkehrfunktionen bilden, da ich nur Rotationsvolumina um die x-Achse berechnen kann. Für $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist das $\begin{eqnarray*} -ln(x) \end{eqnarray*}$ .

Doch nun muss ich die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{2e} (-x^2+3) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Das ist meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{3-2ex} \end{eqnarray*}$ . Doch wenn ich diese drei Umkehrfunktionen nun zeichnen lasse, sehe ich, dass eine Lücke im Graphen entsteht, da $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{3-2ex} \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich natürlich eingeschränkt ist, und somit zwischen 0,55 und -0,55 keine Funktionswerte existieren. Doch wie soll ich nun das Volumen berechnen, wenn dort eine Lücke im Graphen ist??

Ich hoffe, man kann mein Problem verstehen.. :/

mfg, jay

31.05.2005, 17:37

brunsi

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RE: Rotationsvolumen von zusammengesetze Funktion
ja aber ich verstehe nicht das problem. wenn in zwischen diesen beiden Funktionen eine Funktion, ich glaube dein g(x) eingefügt wird, dann hast du doch eine geschlossene Funktion. Da ist doch keine Lücke mehr.

Außerdem etwas einfacher: Volumen um die y-AChse:

$\begin{eqnarray*} \pi\int_{b}^{a}~x^{2}*f'(x)~dx \end{eqnarray*}$

edit: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ noch ergänzt

31.05.2005, 17:41

JayT

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nun, das stimmt schon! die lücke wird geschlossen, wenn ich g(x) dort einfüge. Doch wenn ich das ganze an der 1. winkelhalbierenden spiegele, dann tritt dort eine Lücke im graphen auf, da die Umkehrfunktion von g(x) in intervall [-0,55;0,55] (gerundet) nicht definiert ist, oder?

31.05.2005, 17:44

brunsi

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mal ne frage, sollst du es denn mit der umkehrfunktion machen?

P.S.: hab da noch was ergänzt!!

31.05.2005, 17:48

JayT

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vielen dank für die fomel! .. nun, ich soll es auf jeden fall um die x-achse rotieren lassen, da wir die andere formel nicht hatten/bewiesen haben, und dazu muss ich doch die umkehrfunktion(en) benutzen..zumindest fällt mir kein anderer weg ein!

31.05.2005, 17:50

brunsi

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so wie ich das sehe muss man doch noch die anderen beiden funktionsteile und g(x) einbeziehen, dann ergibt sich doch noch ne andere funktion??!! verwirrt

verwirrt

edit: ich krieg das mit der funktion plottene infach nciht in den grif.

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31.05.2005, 17:55

JayT

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hmh,nur welche? ich hätte, wie gesagt, die umkehrfunktion von e^x, e^(x) und g(x) gebildet und diese nur in den jeweiligen intervallen betrachtet und von diesen die rotationsvolumina berechnet..

31.05.2005, 18:02

brunsi

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ich hatte mir gedacht, dass du zuerst die beiden anderen Funktionen zu g(x) hinzu addierst und dann die Umkehrfunktion daraus bildest!!

31.05.2005, 18:30

sqrt(2)

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Nein, das wird nicht funktionieren, denn dann käme zum Verbindungsstück ja noch $\begin{eqnarray*} e^x+e^{-x}\neq0\forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hinzu. Der resultierende Graph wäre ein ganz anderer.

Allerdings dürfte der Weg über die Umkehrfunktion auch zu keinem Erfolg führen. Ersteinmal weiß ich nicht, wie du Darauf kommst, die Funktion sei auf $\begin{eqnarray*} [-0.55, 0.55] \end{eqnarray*}$ undefiniert: $\begin{eqnarray*} 3-2ex<0~\Rightarrow~x>\frac{3}{2e} \end{eqnarray*}$ . Wenn du die Funktion aber mal zeichnest, siehst du, dass auch deren Rotationskörper für dich unnütz ist:

Wie willst du den überflüssigen Teil da wieder herausrechnen?

Ich sehe im Moment keinen anderen Weg als über brunsis Formel, aber vielleicht ist es auch die Übung, gerade die herzuleiten.

31.05.2005, 18:34

brunsi

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was mich jetzt aml interessiert, wie bekommt ihr alle mit diesem Funktionsplotter mehr als einen Graphen in die Graphik? bei mir funktioniert das nie. Hilfeeeeeee

31.05.2005, 18:37

sqrt(2)

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Mit einem Komma, wie in gnuplot eben auch.

31.05.2005, 18:42

etzwane

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Klick auf "zitat" bei so einem Plot und schau dir an, was da steht ....

31.05.2005, 18:56

brunsi

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danke hab ich, jetzt weiß ichs smile

smile

01.06.2005, 00:02

sqrt(2)

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Mir fällt gerade auf, deine Formel ist falsch, brunsi. Ihrzufolge ist das Volumen von $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ auf [0:1] um die y-Achse rotiert $\begin{eqnarray*} V=\pi\int_0^1~x^2\cdot 0~dx=0 \end{eqnarray*}$ .

Mein Vorschlag lautet $\begin{eqnarray*} V=2\pi \int_a^b~rf(r)~dr \end{eqnarray*}$ , im Prinzip also die einzelnen Kreislinien zur Fläche aufintegriert, jeweils mit der korrekten Höhe in das Volumen einfließend. In diesem Fall wäre das Volumen für das ganzrationale Teilstück also $\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi}{e}\int_0^1~(-x^3+3x)~dx=\frac{\pi}{e}\left[-\frac{1}{4}x^4=\frac{3}{2}x^2\right]_0^1 \end{eqnarray*}$ (es wird nur eine Hälfte der Kurve um die Achse rotiert!).

01.06.2005, 00:13

Mathespezialschüler

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@sqrt
Nein, brunsis Formel ist richtig, falls $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ existiert und integrierbar ist! Deine Formel ist falsch! Dass das Volumen 0 wird, ist ja auch korrekt: Du lässt ja nur eine Strecke um einen ihrer Endpunkte rotieren. Da entsteht eine Kreisfläche und das ist ja kein Körper bzw. du könntest diese Kreisfläche auch auffassen als Zylinder mit der Höhe 0 und der hat ja auch ein verschwindendes Volumen.

Gruß MSS

01.06.2005, 00:31

sqrt(2)

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Gut, wenn man es so auffasst, dass der Rotationskörper erst dadurch zu einem Körper wird, dass es eine Höhenänderung der Funktion gibt, ist meine wohl falsch und brunsis richtig. Allerdings ist es in diesem Fall so, dass der Rotationskörper nicht nur durch das ganzrationale Teilstück entsteht, sondern durch die gesamte Funktion. Also lässt man in diesem Fall die gesamte Fläche zwischen Graph und x-Achse um die y-Achse rotieren, speziell, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f_{ges}(x)=0 \end{eqnarray*}$ , also ist meine Formel anzuwenden. Addiert man zu brunsis Formel noch den unter dem Graphen liegenden Zylinder hinzu, kommt man auch auf dasselbe Ergebnis.

01.06.2005, 00:40

Mathespezialschüler

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@sqrt(2)
Jetzt verstehe ich erst, was du meinst! Also brunsis Formel gibt das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man das Flächenstück zwischen y-Achse und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ um die y-Achse rotieren lässt. Wenn man die Fläche zwischen x-Achse und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ um die y-Achse rotieren lässt, ergibt sich natürlich eine andere Formel. Allerdings glaube ich nicht, dass deine Formel korrekt ist, du integrierst ja da irgendwie die Flächeninhalte aller Rechtecke mit den Punkten $\begin{eqnarray*} (0|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (r|f(r)) \end{eqnarray*}$ und warum sollte das das Volumen ergeben?

Gruß MSS

01.06.2005, 00:50

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Allerdings glaube ich nicht, dass deine Formel korrekt ist, du integrierst ja da irgendwie die Flächeninhalte aller Rechtecke mit den Punkten $\begin{eqnarray*} (0|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (r|f(r)) \end{eqnarray*}$ und warum sollte das das Volumen ergeben?

Rechtecke? Meine Idee besteht darin, die Volumina infinitesimal dünner hohler Zylinder aufzusummieren. Ein Kreis hat den Umfang $\begin{eqnarray*} U=2\pi r \end{eqnarray*}$ , daher komme ich auf $\begin{eqnarray*} V=2\pi\int_a^b~r\cdot f(r)~dr \end{eqnarray*}$ .

01.06.2005, 01:09

Mathespezialschüler

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Trotzdem ergibt $\begin{eqnarray*} r\cdot f(r) \end{eqnarray*}$ einen Rechtecksflächeninhalt, und zwar den des Rechtecks, was ich oben beschrieb. Vll solltest du dir das mal aufzeichnen!
Aber damit wir uns richtig verstehen: Du nimmst die Fläche unter der Funktion bzgl. der x-Achse und die willst du um die y-Achse rotieren lassen, korrekt?

Gruß MSS

01.06.2005, 01:18

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Trotzdem ergibt $\begin{eqnarray*} r\cdot f(r) \end{eqnarray*}$ einen Rechtecksflächeninhalt, und zwar den des Rechtecks, was ich oben beschrieb.

Ja, aber die Betrachtungsweise führt nicht weit (zumindest um diese Uhrzeit). $\begin{eqnarray*} 2\pi r\cdot f(r) \end{eqnarray*}$ ist die Mantelfläche eines Zylinders. Durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} dr \end{eqnarray*}$ und Aufsummieren erhalte ich das Volumen.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Aber damit wir uns richtig verstehen: Du nimmst die Fläche unter der Funktion bzgl. der x-Achse und die willst du um die y-Achse rotiere lassen, korrekt?

Ja.

01.06.2005, 01:45

Mathespezialschüler

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Ach, so meinst du das!
Aber deine Formel stimmt trotzdem nicht. Probier sie doch mal für $\begin{eqnarray*} f(x)=3-x \end{eqnarray*}$ im Intervall [1,2] und prüfe das Ergebnis elementargeometrisch nach!

edit: Hhhm, hab einen Rechenfehler gemacht, hier scheint deine Formel zu stimmen.

Gruß MSS

01.06.2005, 08:55

brunsi

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@sqrt(2):

Zitat:

Mir fällt gerade auf, deine Formel ist falsch, brunsi. Ihrzufolge ist das Volumen von f(x)=1 auf [0:1] um die y-Achse rotiert $\begin{eqnarray*} V=\pi\int_0^1~x^2\cdot 0~dx=0. \end{eqnarray*}$

wieso soll dass denn falsch sein?

ich nehme an, das Jay-T das Volumen der GESAMTEN FUnktion berechnen soll, und da die Funktion g(x) genau in die Lücke von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ passen soll, muss man doch einfach durch addition der drei funktionen sich eine neue Funktion erstellen. Diese hat dann auch keine Lücke mehr im Definitionsbereich und dann könnte man meine Formel anwenden.

01.06.2005, 13:52

sqrt(2)

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Zitat:

Original von brunsi
wieso soll dass denn falsch sein?

Das haben MSS und ich schon geklärt, wenn du die Postings dazwischen mal liest. Der Zylinder unter der ganzrationalen Funktion wird dabei außer Acht gelassen.

Zitat:

Original von brunsi
ich nehme an, das Jay-T das Volumen der GESAMTEN FUnktion berechnen soll, und da die Funktion g(x) genau in die Lücke von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ passen soll, muss man doch einfach durch addition der drei funktionen sich eine neue Funktion erstellen.

Nein! $\begin{eqnarray*} e^x+e^{-x} +f(x)\neq f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Zeichne dir die drei Funktionen mal auf.

01.06.2005, 14:05

brunsi

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so ich zeichne mir dann mal di ebeiden funktionen eben:

edit: das war blödsinn, ich experimentiere noch mit dem plotter.

01.06.2005, 14:19

sqrt(2)

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Dezimalpunkt, nicht Dezimalkomma.

01.06.2005, 14:27

brunsi

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si ich glaube jetzt hab ich es einigermaßen drauf so was zu zeichnen. werde das noch ein paar mal sicherlicha n einfacheren funktionen üben und dann selbst auch solche "komplizierten" plotten.

so welcher berecih war denn nun gefragt??

01.06.2005, 14:48

sqrt(2)

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Wie du siehst, ergibt die Addition aller drei Funktionen (lila) nicht die Gesamtfunktion (rot bis yur Berührstelle, blau bis zur Berührstelle, grün). Man muss abschnittsweise rotieren und deine Formel eignet sich nicht dazu.

Schau mal im Anhang, welche Fläche nach deiner Formel für das abschnittsweise rotieren um die x-Achse rotiert wird.

01.06.2005, 15:01

brunsi

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dann heißt "anschließen der Funktion g(x) direkt an die anderen beiden Funktionen ohne überlappungen" nicht, dass man eine neue Funktion aus diesen drei Funktionen bilden muss, sondern, dass man einfach nur die funktion g(x) benötigt um das volumen zu berechnen??

aber die volumina müsste mann dann doch addieren oder?

01.06.2005, 15:15

sqrt(2)

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Man muss schon eine neue Funktion bilden, jedoch nicht durch Addition, sondern durch Fallunterscheidungen. Für jeden Fall kannst du das Volumen berechnen und dann die Volumina addieren, jedoch eignet sich deine Formel nicht, um das Volumen des mittleren Abschnitts über [-1, 1] zu berechnen, wie du aus dem Plot im Anhang meines letzten Postings schließen kannst.

01.06.2005, 15:26

brunsi

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wie kommt ihr denn überhaupt auf das Intervall [-1;1]?

ich dachte,da die eine FUnktion im Intervall [-1;0] definiert ist und die andere im Intervall [1;+unedlich] bleibt noch das Intervall [0;1]für die funktion g(x) übrig.

01.06.2005, 16:10

sqrt(2)

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Wenn du zeichnest, siehst du, dass das ein Tippfehler ist.

01.06.2005, 17:19

brunsi

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@sqrt(2): noch einmal zurück auf deine fallunterscheidung. ich hab noch nicht so ganz verstanden, was du damit gemeint hast, wo muss ich die machen?

01.06.2005, 17:33

Leopold

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Warum stellt ihr euch eigentlich so an? Das geht doch ganz nach Schema F. Die Funktion

$\begin{eqnarray*} u(x) = \frac{1}{2 \operatorname{e}}\left(3-x^2\right) \, , \ x \in D_u = \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$

hat die Wertemenge

$\begin{eqnarray*} W_u = \left[\frac{1}{\operatorname{e}},\frac{3}{2 \operatorname{e}}\right] \end{eqnarray*}$

und ist bezüglich der festgelegten Definitions- und Wertemenge umkehrbar mit Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} u^{-1}(x) = \sqrt{3-2\operatorname{e}x} \, , \ x \in D_{u^{-1}} = W_u = \left[\frac{1}{\operatorname{e}},\frac{3}{2 \operatorname{e}}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{u^{-1}} = D_u = \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$

Ebenso ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} v(x) = e^{-x} \, , \ x \in D_v = \left[1 \, ,\infty\right) \end{eqnarray*}$

mit der Wertemenge

$\begin{eqnarray*} W_v = \left(0 \, , \frac{1}{\operatorname{e}} \right] \end{eqnarray*}$

umkehrbar mit der Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} v^{-1}(x) = - \ln{x} \, , \ x \in D_{v^{-1}} = W_v = \left(0 \, , \frac{1}{\operatorname{e}} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{v^{-1}} = D_v = D_v = \left[1,\infty\right) \end{eqnarray*}$

Und die zusammengesetzte Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} u(x) \, , & \text{falls} \ x \in \left[0,1\right) \\ v(x) \, , & \text{falls} \ x \in \left[1,\infty\right) \end{cases} \end{eqnarray*}$

ist offensichtlich ebenfalls umkehrbar mit der Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = \begin{cases} v^{-1}(x) \, , & \text{falls} \ x \in \left(0 \, , \frac{1}{\operatorname{e}} \right] \\ u^{-1}(x) \, , & \text{falls} \ x \in \left(\frac{1}{\operatorname{e}},\frac{3}{2 \operatorname{e}}\right] \end{cases} \end{eqnarray*}$

Für das gesuchte Rotationsvolumen gilt daher

$\begin{eqnarray*} V \ = \pi \left( \int_0^{\frac{1}{\operatorname{e}}}~\left( \ln{x} \right)^2~\mathrm{d}x \ + \ \int_{\frac{1}{\operatorname{e}}}^{\frac{3}{2\operatorname{e}}}~\left( 3 - 2 \operatorname{e} x \right)~\mathrm{d}x \right) \end{eqnarray*}$

Das erste Integral ist dabei an der unteren Grenze uneigentlich.
Das Bild zeigt die Graphen von Funktion (blau, einschließlich Spiegelbild bezüglich der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse) und Umkehrfunktion (rot).

BEIM UMKEHREN EINER FUNKTION IST DIE VORHERIGE BESTIMMUNG DES GENAUEN DEFINITIONS- UND WERTEBEREICHES UNERLÄSSLICH. Bloßes formales Rechnen führt auf Abwege, wie in diesem Strang wieder deutlich zu sehen.

01.06.2005, 17:39

brunsi

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@LEOPOLD: und was hast du denn mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ gemacht? verwirrt

verwirrt

verwirrt

wo finde ich die denn wieder?

01.06.2005, 17:55

Leopold

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Die ist überflüssig, ebenso wie der linke Teil des Parabelbogens. Die Regel heißt:

Rotiert das Flächenstück unterhalb des Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ (!!!) über dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ um die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse, so hat der dadurch beschriebene Rotationskörper das Volumen

$\begin{eqnarray*} V = \pi \int_a^b~\left(f(x)\right)^2~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Und genau das mache ich mit dem roten Graphen.
Beachtet: Heuristisch ist $\begin{eqnarray*} \pi \left(f(x)\right)^2 \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ nichts anderes als ein Zylinder mit der Grundkreisfläche $\begin{eqnarray*} \pi \left(f(x)\right)^2 \end{eqnarray*}$ (das $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist der Radius des Kreises) und der infinitesimalen Höhe $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ . Und diese unendlich vielen unendlich niedrigen Zylindervolumen werden aufsummiert (Integralzeichen als stilisiertes S für "Summe").

01.06.2005, 18:03

brunsi

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und wie sieht das konkret in den grenzen aus? welche benutze ich dafür denn nun? [0;+unendlich] als intervall ??

01.06.2005, 18:15

Leopold

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Hier steht's.

01.06.2005, 18:26

brunsi

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gute angabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

also von 0 bis (3/2e)!!

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