[Aufgabensammlung] - Schulmathematik

12.03.2004, 00:40

Deakandy

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[Aufgabensammlung] - Schulmathematik

Warum dieser Workshop. Vermehrt kommen Aufgaben ähnlicher Stellungen vor. Wer sich bereit erklärt sich dieser Aufgabe anzunehmen und sie komplett löst wird gebeten, diese in ordentlicher Form in diesem Thread abzulegen.
Werde sie dann auch vernünftig verlinken.

Aufgabe 1.)
Ableitung von $\begin{eqnarray*} \ln\frac {\sqrt {x^2+1}-x} {\sqrt {x^2+1}+x} \end{eqnarray*}$ hier.

Aufgabe 2.)
Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} \frac{3x}{x^2-x-2} \end{eqnarray*}$ hier Danke Blackjack

Aufgabe3.)
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ hier Danke Blackjack

Aufgabe 4.)
Ein bisschen zur E-Funktion hier

Aufgabe5.)
a.) Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2-5n} \end{eqnarray*}$
b.) Grenzwert von $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{a^3}{6(1-\frac{1}{n})(2-\frac {1} {n})} \end{eqnarray*}$ hier

Aufgabe6.)
$\begin{eqnarray*} \int~{\sin^2(x)}dx \end{eqnarray*}$ hier

"Aufgabe" 7.)

Quadratische Funktionen und Parabeln und nun? Danke ETA

Aufgabe 8.) Danke Juergen
Polynomdivision hier

Aufgabe 9.)
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5} \end{eqnarray*}$ hier

Aufgabe 10.)
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^2~\frac{x-1}{(x^2-2x-3)} ~dx \end{eqnarray*}$ hier

Aufgabe 11.)
$\begin{eqnarray*} \int~{\ln(x)}~dx \end{eqnarray*}$ hier

Aufgabe 12.)
Schnittstellen der Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{36e^x}{(1+e^x)^2} \ \text{und} \ g(x)=e^x \end{eqnarray*}$ hier

Aufgabe13.)
Warum ist die Ableitung der e-Funktion wieder gleich der e-Funktion hier

Aufgabe14.)
$\begin{eqnarray*} \sqrt{8+x}+\sqrt{5-5x}=\sqrt{17-8x} \end{eqnarray*}$ hier

Aufgabe 15.)
Beschränktheit der eulerschen Zahl hier

12.03.2004, 00:41

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
$\begin{eqnarray*} f(x)= \ln \frac{\sqrt {x^2+1}-x} {\sqrt {x^2+1}+x}= \ln \left( \frac {\sqrt {x^2+1}-x} {\sqrt {x^2+1}+x}\cdot \frac {\sqrt {x^2+1}-x} {\sqrt {x^2+1}-x} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln\frac {(\sqrt {x^2+1}-x)^2} {x^2+1-x^2} = \ln \left( \sqrt {x^2+1}-x \right)^2 - \ln 1 = 2 \cdot \ln(\sqrt {x^2+1}-x) \end{eqnarray*}$

So weit zur Vereinfachung... nun die Ableitung

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {2} {\sqrt {x^2+1}-x} \cdot \left( \frac {1} {2}\cdot (x^2+1)^{-\frac {1} {2}} \cdot 2x-1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{2} {\sqrt {x^2+1}-x} \cdot \left( \frac {x} {\sqrt {x^2+1}}-1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {2x} {({\sqrt {x^2+1}-x}) \cdot \sqrt {x^2+1}} - \frac {2} {\sqrt {x^2+1}-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {2x-2 \cdot \sqrt {x^2+1}} {(\sqrt {x^2+1}-x) \cdot \sqrt {x^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac {2 \cdot (\sqrt {x^2+1}-x)} {(\sqrt {x^2+1}-x) \cdot \sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac {2} {\sqrt {x^2+1}} \end{eqnarray*}$

Ich finde diese Aufgabe kommt fast in jedem Kurs vor smile

smile

18.03.2004, 23:10

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Partialbruchzerlegung

$\begin{eqnarray*} \int \frac{3x}{x^2-x-2}~\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3x}{x^2-x-2} = \frac{3x}{(x+1) (x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{A (x-2) + B (x+1)}{(x+1) (x-2)} = \frac{(A + B) x - 2A + B}{(x+1) (x-2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A + B = 3 \wedge -2 A + B = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A = 1 \wedge B = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{3x}{x^2-x-2} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int \frac{3x}{x^2-x-2}~\dd x = \int \frac{1}{x+1}~\dd x + \int \frac{2}{x-2}~\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ln | x +1 | + 2 \ln | x-2 | \end{eqnarray*}$

18.03.2004, 23:17

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Integral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x}{(x^2+1)^2}~\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = x^2 +1 = z \ , \ g'(x) = 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x}{(x^2+1)^2}~\dd x = \int f(g(x)) \cdot g'(x)~\dd x = \int f(z)~\dd z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \frac{1}{z^2}~\dd z = - \frac{1}{z} = -\frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

19.03.2004, 00:09

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Also fangen wir mal mit dem Ableiten an.
Ich hätte ja alles gedacht, aber Probleme bei der e-Funktion...naja also dann fangen wir mal an...
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x \end{eqnarray*}$
Naja das wusstest du ja bereits
Das prinzip ist bei der E-Funktion ja folgendes.
Die E-Funktion leitet man so ab, das die äußere Ableitung der E-Funktion wieder die E-Funktion beschreibt.
dann kommen die inneren Ableitungen, bzw. die Ableitungen des Exponenten.
Also
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x=2x \cdot e^{x^2} \end{eqnarray*}$
So und nun steigert sich die ganze Sache nur.
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{\sqrt {x^3+4x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{\sqrt {x^3+4x}} \cdot (\sqrt {x^3+4x})' \end{eqnarray*}$
Das heißt du musst nun noch die Wurzel ableiten und die "Stamm-e-funktion" immer mitziehen.

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {2 \cdot \sqrt {x^3+4x}} \cdot (x^3+4x)' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {3x^2+4} {2 \cdot \sqrt {x^3+4x}} \end{eqnarray*}$
so nun hast du die Wurzel auch abgeleitet und fügst quasi zusammen
$\begin{eqnarray*} \frac {3x^2+4} {2 \cdot \sqrt {x^3+4x}} \cdot e^{\sqrt {x^3+4x}} \end{eqnarray*}$

26.03.2004, 00:43

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Gegeben sei die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt {n^2-n}-\sqrt {n^2-5n} \end{eqnarray*}$ und ich will den Grenzwert bestimmen für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$
Also versuchen wir erst mal für die lustige Wurzel da
Ich meine du musst den Ausdruck mit der binomischen Formel erweitern
Also der dritten
$\begin{eqnarray*} \sqrt {n^2-n}-\sqrt {n^2-5n} =\frac{(\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2-5n}) \cdot (\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2-5n})} {(\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2-5n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {n^2-n-n^2+5n} {(\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2-5n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {4n} {(\sqrt{n^2-n}+\sqrt{n^2-5n})} \end{eqnarray*}$

So nun mal den Nenner gescheit umformen
jeweils die hächste Potenz rausholen

$\begin{eqnarray*} \frac{4n}{n \cdot \sqrt{1-\frac{1}{n}}+n \cdot \sqrt {1-\frac{5}{n}}} \end{eqnarray*}$

So nun das n lecker überall rauskürzen und dann mal gegen unendlich streben lassen
Die Wurzeln gehen beide gegen 1
also hat man in Grenzwerten

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{x \to \infty}~4} {\lim_{x \to \infty}~\sqrt {1-\frac {1} {n}}+\lim_{x \to \infty}~\sqrt{1-\frac {5} {n}}} \end{eqnarray*}$

Und das ist ja dann

$\begin{eqnarray*} \frac {4} {1+1} =\underline {2} \end{eqnarray*}$

So geil das mit dem Formeleditor aussieht, desto zeitaufwendiger ist es unglücklich

unglücklich

Naja ist ja auch für mich wieder mal ne Wiederholung

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\frac {a^3} {6(1-\frac {1} {n})(2-\frac {1} {n})} = \end{eqnarray*}$

Nach den Limitenregeln

$\begin{eqnarray*} \frac {\lim_{n \to \infty}~{a^3}} {\lim_{n \to \infty}~{6(1-\frac {1} {n})(2-\frac {1} {n})}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^3}{6 \cdot \underbrace{\lim_{n \to \infty}~(1-\underbrace{\frac{1}{n}}_{0})}_{1} \cdot \underbrace{\lim_{n \to \infty}~(2-\underbrace{\frac{1}{n}}_{0})}_{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {a^3} {12} \end{eqnarray*}$

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31.03.2004, 20:54

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Wir lösen das folgenge Integral mittels partieller Integration
$\begin{eqnarray*} \int~{\sin^2(x)~\dd x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u=\sin(x) \ \ \ v= - \cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=\cos(x) \ \ \ v'=\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~{\sin^2(x)}~\dd x= - \sin(x) \cdot \cos(x) - \int~{- \cos(x) \cdot \cos(x)}~\dd x \end{eqnarray*}$

Nun die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~{\sin^2(x)}~\dd x= - \sin(x) \cdot \cos(x)+\int~({1-\sin^2(x)})~\dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~{\sin^2(x)}~\dd x= - \sin(x) \cdot \cos(x)-\int~{\sin^2(x)}~\dd x+\int~{1}~\dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int~{\sin^2(x)}= - \sin(x) \cos(x)+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~{\sin^2(x)}~\dd x= - \frac {\sin(x) \cos(x)} {2} +\frac {x} {2}+C \end{eqnarray*}$

So ich denke, so ist das richtig und ich finde auch man sollte das einmal gesehen haben und prägt es sich für den Rest des Lebens ein smile

smile

09.04.2004, 17:42

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Ich glaube er braucht Beschreibungen, die die Hauptmerkamale von Quadratischen Funktionen charkterisieren.
Zunächst treten Quadratische Gleichungen in der Normallform:

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$ auf!

Diese besteht aus

einen quadratischen Glied = $\begin{eqnarray*} ax^2 \end{eqnarray*}$
einen linearen Glied = $\begin{eqnarray*} bx \end{eqnarray*}$
einen absoluten Glied = $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$

Die Koeffizenten a,b und c sind Element des Reellen Zahlen Bereiches, das bedeutet man kann für sie jede beliebige Zahl einsetzen!

Die einzigste ausnahme bildet der Koeffizent a des quadratischen Gliedes. Dieser darf nicht 0 sein da es dann keine Quadratische Funktion mehr ist!

Man lösst solche typen von Gleichung meistens durch die pq-Formel

Dazu muss der Koeffizent des Quadratischen Gliedes zunächst mal 1 sein.
Wenn er nicht 1 ist so dividiert man die Gesamte Gleichung durch den Koeffizenten des Quadratischen Gliedes.

Die Gleichung muss der Form $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$ entsprechen.

Und dann kann man folgende Formel anwenden:

$\begin{eqnarray*} x_1/x_2=\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{p}{2} - \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Der Komplette Lösungsweg schaut dann so aus:

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \ | \colon a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{b}{2a} + \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{b}{2a} - \sqrt{\left( \frac{b}{2a} \right)^2-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

Ws gibt noch ein paar fälle wo nur 1 Lösung zustande kommt order garkeine. Dazu muss man sich den Inahlt in der Wurzel anschauen

1. Fall

$\begin{eqnarray*} \frac{b^2-4ac}{4a^2}>0 \end{eqnarray*}$

Wenn der Inhalt der Wurzel Grösser 0 ist so hat die Gleichung Zwei Lösungen im Reellen Zahlenbereich

2. Fall

$\begin{eqnarray*} \frac{b^2-4ac}{4a^2}=0 \end{eqnarray*}$

Wenn der Inhalt der Wurzel gleich 0 ist so hat die Gleichung eine Lösungen im Reellen Zahlenbereich, diese ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{b}{2a} \end{eqnarray*}$ !

3. Fall

$\begin{eqnarray*} \frac{b^2-4ac}{4a^2}<0 \end{eqnarray*}$

Wenn der Inhalt der Wurzel kleiner 0 ist so hat die Gleichung keine Lösungen im Reellen Zahlenbereich, sondern eine im Komplexen Zahlenbereich.

Es gibt noch verschiedene Sonderformen der Quadratischengleichung.

1. gemischt quadratische Gleichung

hat die Form $\begin{eqnarray*} ax^2+bx=0 \end{eqnarray*}$
bei dieser Gleichung fehlt das absolute Glied c.

Diese Gleichung ist einfach aufzulösen. Man kann ein x aus klammern, das dann auch 0 ist

$\begin{eqnarray*} x(ax+b)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dann simpel

$\begin{eqnarray*} ax+b=0 | -b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax=-b \ | \colon a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2= -\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$

2. rein quadratische Gleichung

hat die Form $\begin{eqnarray*} ax^2-c=0 \end{eqnarray*}$
bei dieser Gleichung fehlt das lineare Glied bx.

Diese Gleichung ist ebenfalls einfach aufzulösen.

$\begin{eqnarray*} ax^2-c=0 | +c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax^2=c \ | \colon a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{c}{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=+\sqrt{\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-\sqrt{\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

Hier gelten die gleichen Reglen wie bei der Quadratischen Gleichung!

Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a}>0 \end{eqnarray*}$ so $\begin{eqnarray*} x_1 \vee x_2 \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a}=0 \end{eqnarray*}$ so $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a}<0 \end{eqnarray*}$ so kein $\begin{eqnarray*} x_1 \ \text{oder} \ x_2 \end{eqnarray*}$

Die Funktion selbst in einem Kordinatensystem mit einen Werte und Definitionsbereich hat folgende Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ sieht so aus:

diesen Funktionsgraphen nennt man Normalparabel.

Durch hinzufügen des Koeffizenten a wird der Graph $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2 \end{eqnarray*}$ entweder in Richtung der Ordinate(y-Achse) oder der Abszisse(x-Achse) gestreckt.

Wenn der Fall vorliegt das $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ ist so wird die Normalparabel gestreckt:

Wenn der Fall vorliegt das $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ ist so wird die Normalparabel gestaucht:

Wenn der Fall vorliegt das $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ ist so wird die Normalparabel an der Abszisse gespiegelt:

Wenn ein Absolutglied c hinzugefügt wird, wird die Parabel $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 +c \end{eqnarray*}$ entweder nach oben verschoben bei
$\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ oder bei $\begin{eqnarray*} c<0 \end{eqnarray*}$ nach untern.

Das sieht so aus:

Durch das hinzufügen des linearen Gliedes [latex}bx[/latex] wird die Parabel $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx \end{eqnarray*}$ nach rechts bei $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ oder links $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ verschoben.

Das sieht so aus:

Wobei sie nicht auf x-Achse liegt, sie wird auch ein stückweit nach unten verschoben. Der genaue y-Wert, also der Wert um den sie nach unten Verschoben wird ist

$\begin{eqnarray*} f \left(\frac{x_1+x_2}{2} \right)=a \left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)^2+b \left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \left( \frac{x_1+x_2}{2} \right)=\frac{ax_1^2+2ax_1x_2+ax_2^2}{4}+\frac{bx_1+bx_2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) = \frac{ax_1^2+2ax_1x_2+ax_2^2+2bx_1+2bx_2}{4} \end{eqnarray*}$

Ich denke das sollte dir helfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2004, 16:18

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Polynomdivision

Code:
\polylongdiv{2x^3-3x^2-11x+6}{x-4}

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \begin{tabular}{rrrrrcc} $\left( \right.$ & $2x^3$ & $- 3x^2$ & $- 11x$ & $+ 6 \left. \right)$ & $:$ & $(x-4) = 2x^2 + 5x + 9 + \frac{42}{x-4}$ \\ & $- 2x^3$ & $+ 8x^2$ & & & & \\ \cline{2-3} \\ & & $5x^2$ & $-11x$ & & & \\ & & $-5x^2$ & $+11x$ & & & \\ \cline{3-4} \\ & & & $9x$ & $+6$ & & \\ & & & $-9x$ & $+36$ & & \\ \cline{4-5} \\ & & & & $42$ & & \end{tabular}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Faktorzerlegung

$\begin{eqnarray*} \text{Formel:} \ 2x^3 + x^2 - 7x +3 \end{eqnarray*}$

Code:
\polyfactorize{2x^3 + x^2 - 7x +3}

$\begin{eqnarray*} 2 \left( x - \frac{1}{2} \right) \left( x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right) \left( x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2} \right) \end{eqnarray*}$

15.04.2004, 12:27

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x-3} = 2+\sqrt{x-5} \ \ | ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2x-3})^2=(2+\sqrt{x-5})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-3=2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{x-5} +(\sqrt{x-5})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-3=4+4\cdot \sqrt {x-5} +x-5 \ \ | \text{Zusammenfassen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-2=4\cdot \sqrt{x-5} \ \ | ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2=(4\cdot \sqrt{x-5})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-4x+4=16\cdot (x-5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-4x+4=16x-80 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-20x+84=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-6)\cdot (x-14)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=6 \ \text{und} \ x_2=14 \end{eqnarray*}$

16.04.2004, 14:52

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Gegeben sei folgende Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^2~\frac{x-1}{(x^2-2x-3)}~\dd x \end{eqnarray*}$

Substituiert wird immer dann wenn man einen Teil durch die Ableitung
eines anderen Teils kürzen kann.

Dies ist in diesem Fall möglich. Wir substituieren u = x²-2x-3

Dann folgt $\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{\dd x}= 2x-2 = 2(x-1) \end{eqnarray*}$

nach dx aufgelöst :

$\begin{eqnarray*} \dd x = \frac{\dd u}{2(x-1)} \end{eqnarray*}$

Das kann jetzt in das Integral eingesetzt werden :
( !! Die Grenzen müssen bei der Substitution umgerechnet werden,
wir lassen sie ausser acht bis zur Rücksubstitution !! )

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x-1}{u} ~\cdot \frac{\dd u}{2(x-1)} \end{eqnarray*}$

Das ganze kürzen :

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{2 \cdot u} ~\dd u \end{eqnarray*}$

Nun können wir nach den bekannten Regeln integrieren :

$\begin{eqnarray*} \left[ 0,5 \cdot \ln(u) \right] \end{eqnarray*}$

Nun noch unser u resubstituieren (das Argument vom natürlichen Logarythmus muss in Betragsstriche gesetzt werden) :

$\begin{eqnarray*} \left[ 0,5 \cdot \ln(|x^2-2x-3|) \right]_{1}^2 = - 0,1438 \end{eqnarray*}$

17.04.2004, 23:21

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
$\begin{eqnarray*} \int~{\ln(x)}~\dd x=\int~{1 \cdot \ln(x)}~\dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x)= \ln(x) \ \ \ \ v(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)=\frac {1} {x} \ \ \ \ \ \ \ \ v'(x)=1 \end{eqnarray*}$
Nach der partiellen Integration
$\begin{eqnarray*} u(x) \cdot v(x)-\int~{u'(x) \cdot v(x)}~\dd x \end{eqnarray*}$
Eingesetzt
$\begin{eqnarray*} \ln(x) \cdot x-\int~{\frac {1} {x} \cdot x}~\dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \cdot \ln(x)-\int~{1}~\dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \cdot \ln(x)-x \end{eqnarray*}$

18.04.2004, 14:12

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
$\begin{eqnarray*} \frac {36 \cdot e^x} {(1+e^x)^2}=e^x \ \ | \cdot (1+e^x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 36e^x=e^x \cdot (1+e^x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 36e^x=e^x \cdot [1+2 \cdot e^x+(e^x)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 36e^x=e^x+2 \cdot (e^x)^2+(e^x)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^x)^3+2(e^x)^2-35e^x=0 \end{eqnarray*}$

Substitution mit $\begin{eqnarray*} e^x=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^3+2z^2-35z=0 \end{eqnarray*}$

ergibt per faktorisieren

$\begin{eqnarray*} z \cdot (z^2+2z-35)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z \cdot (z+7)\cdot (z-5)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1=0 \ \ z_2=-7 \ \ z_3=5 \end{eqnarray*}$

Resubstitution ergibt

$\begin{eqnarray*} \underbrace{e^x=0}_{entf.} \ \ \underbrace{e^x=-7}_{entf.} \ \ \underbrace{e^x=5}_{\Rightarrow x=ln(5)} \end{eqnarray*}$

26.04.2004, 18:30

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung

Zitat:

Original von Deakandy
$\begin{eqnarray*} \exp'(x)=\frac{\dd}{\dd x} (\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!} \cdot x^n})=\sum_{n=1}^{\infty}~{\frac{1}{n!} nx^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty}~{\frac{1}{(n-1)!} x^{n-1}}=exp(x) \end{eqnarray*}$
Ich meine sowas in der Art war gemeint, ne?
Naja nun aber Weg
Andy

04.05.2004, 22:12

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Wurzelgleichungen.
Meiner Meinung nach gibt es zwei "verschiedene" Arten von Wurzelgleichungen.
Vorab nochmal kurz die binomischen Formeln die meist relevant sind...
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Erster Typ:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+5}=x+2 \end{eqnarray*}$
Bestimmen der Definitionsmenge
Man muss schauen für welche x die Gleichung definiert ist.
Rechts vom Gleichheitszeichen darf man alles einsetzen.
Die Wurzel jedoch muss größer oder gleich 0 sein.
Also muss der Radikant(das was unter der Wurzel steht größergleich 0 sein)
Der Radikant ist:
$\begin{eqnarray*} x^2+5 \geq 0 \end{eqnarray*}$
Egal was man für x einsetze, das Quadrat ist stets positiv und demnach auch die Summe
Also ist $\begin{eqnarray*} D= \mathbb R \end{eqnarray*}$
Nun zur Berechnung von x
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+5}=x+2 \ \ |^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x^2+5})^2=(x+2)^2 \ \ | \text{Bitte hier (x+2) zusammen quadrieren und nicht die Summanden einzeln} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+5=x^2+4x+4 \ \ | -x^2 \ \ | -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=4x-1 \ \ |+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x=1 \ \ | \colon 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac {1} {4} \end{eqnarray*}$

Die Probe ergibt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left( \frac{1} {4} \right)^2+5}=\frac{1} {4}+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2,25=2,25 \, \text{(w)} \end{eqnarray*}$

Der von mir zweite Typ ist:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{8+x}+\sqrt{5-5x}=\sqrt{17-8x} \end{eqnarray*}$
Nun zu der Definitionsmenge
Man muss nun jeden Radikanten behzandeln und schauen , wenn er größergleich 0 ist.

$\begin{eqnarray*} R_1\colon 8+x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \geq -8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_2\colon 5-5x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_3\colon 17-8x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \leq - \frac {17} {8} \end{eqnarray*}$

Nun muss man die Schnittmenge aller betrachten,
Man könnte es sich sehr schön an einem zahlenstrahl klar machen...
Wörtlich gesehen, welche zahlen sind GLEICHZEITIG größergleich -8 und kleinergleich 1 bzw.17/8
Naja das ist offensichtlich für alle $\begin{eqnarray*} x \in [-8;1] \end{eqnarray*}$
Demnach ist $\begin{eqnarray*} D=\{x \in \mathbb R | x \in [-8;1] \} \end{eqnarray*}$
Nun zur Rechnung
$\begin{eqnarray*} \sqrt{8+x}+\sqrt{5-5x}=\sqrt{17-8x} \ \ | \text{auch hier wieder quadrieren} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\underbrace{\sqrt{8+x}}_{a}+\underbrace{\sqrt{5-5x}}_{b})^2=(\sqrt{17-8x})^2 \end{eqnarray*}$

Nun die binomische Formel ansetzen.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(\sqrt{8+x})^2}_{a^2}+\underbrace{2 \cdot \sqrt{8+x}\sqrt{5-5x}}_{2ab}+\underbrace{(\sqrt{5-5x})^2}_{b^2}=(\sqrt{17-8x})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8+x+2 \cdot \sqrt{8+x} \sqrt{5-5x}+5-5x=17-8x \ \ | \text{Zusammenfassen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{8+x} \sqrt{5-5x}=4-4x \ \ | \colon 2 \ \ | ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{8+x}\sqrt{5-5x})^2=(2-2x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (8+x)(5-5x)=4-8x+4x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 40-35x-5x^2=4-8x+4x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9x^2+27x-36=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+3x-4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+4)(x-1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= -4 \ \ oder \ \ x=1 \end{eqnarray*}$

Beide liegen in der Definitionsmenge
daher: $\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{ -4,1 \} \end{eqnarray*}$

18.05.2004, 20:29

Deakandy

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung
Beschränktheit der Eulerschen Zahl

Vorab eine Definition:

$\begin{eqnarray*} {n \choose k} \colon = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

Und noch eine kleine Formel (der binomische Lehrsatz!):

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = a^n + {n \choose 1} a^{n-1} b + {n \choose 2} a^{n-2} b^2 + \ldots + {n \choose n-1} a b^{n-1} + b^n \end{eqnarray*}$

Und jetzt gehts los:

$\begin{eqnarray*} a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1+ {n \choose 1} \frac{1}{2} + {n \choose 2} \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \ldots + \left( \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \cdot \underbrace{\frac{n \cdot (n-1)}{n \cdot n}}_{< 1} + \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{3! \cdot n \cdot n \cdot n} + \ldots + \frac{1}{n^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots + \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < 1 + \left( \frac{1}{2} \right)^0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + \left( \frac{1}{2} \right)^0 + \left( \frac{1}{2} \right)^1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \ldots + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^n}{1-\frac{1}{2}} = 1 + 2 \cdot \left( 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^n \right) = 1 + 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < 3 \end{eqnarray*}$

03.09.2007, 22:21

SteffD

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RE: [Workshop] Aufgabensammlung

Zitat:

Original von Deakandy
Polynomdivision

Code:
\polylongdiv{2x^3-3x^2-11x+6}{x-4}

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \begin{tabular}{rrrrrcc} $\left( \right.$ & $2x^3$ & $- 3x^2$ & $- 11x$ & $+ 6 \left. \right)$ & $:$ & $(x-4) = 2x^2 + 5x + 9 + \frac{42}{x-4}$ \\ & $- 2x^3$ & $+ 8x^2$ & & & & \\ \cline{2-3} \\ & & $5x^2$ & $-11x$ & & & \\ & & $-5x^2$ & $+11x$ & & & \\ \cline{3-4} \\ & & & $9x$ & $+6$ & & \\ & & & $-9x$ & $+36$ & & \\ \cline{4-5} \\ & & & & $42$ & & \end{tabular}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Das ist ein Fehler drin.
Statt
$\begin{eqnarray*} -5x^2 +11x \end{eqnarray*}$

sollte es
$\begin{eqnarray*} -5x^2 +20x \end{eqnarray*}$

heißen.

L.G.
Steff

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