Inverse einer multiplikativen Funktion bzgl. Faltung wieder multiplikativ

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sanna Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse einer multiplikativen Funktion bzgl. Faltung wieder multiplikativ
Hallo.

Kann mir jemand sagen, wie man zeigen kann, dass die Inverse einer multiplikativen zahlentheoretischen Funktion bzgl. der Faltung multiplikativ ist???

Gruß Sanna
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab den Beweis mal irgendwo gesehen, das lief glaube ich als indirekter Beweis:

Sei g die Inverse von f, d.h. (... Einselement der Faltung). Angenommen, g ist nicht multiplikativ. Dann gibt es eine kleinste Zahl m mit m=ab (a,b teilerfremd) und . Und das kann man dann unter Nutzung von zum Widerspruch führen.


EDIT: Fehler korrigiert, natürlich muss e statt da stehen.
sanna Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich hab ueberhaupt keine Ahnung, wie ich das machen soll Hilfe
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du solltest doch wissen,
- welche Eigenschaften eine multiplikative Funktion kennzeichnen, und
- wie die Faltung zahlentheoretischer Funktionen definiert ist,
oder?
sanna Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss, dass eine Funktion f multiplikativ ist, wenn fuer teilerfremde m und n gilt f(m*n) = f(m)*f(n)

fuer die faltung von zwei funktionen an der stelle n weiss ich, dass sie definiert ist durch die summe f(d)*g(n/d) ueber die teiler d von n

trotzdem weiss ich jetzt aber nicht, wie ich zeigen soll, dass die inverse bzgl der faltung multiplikativ ist
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich oben skizziert habe, ein Widerspruchsbeweis:

Sei g die Inverse von f, d.h. mit

.

Angenommen, g ist nicht multiplikativ. Dann gibt es eine kleinste Zahl m mit m=ab (a,b teilerfremd) und . Wegen g(1)=1 ist auf alle Fälle m>1. Für dieses m ist dann



Nun sind die Teiler u von a und v von b teilerfremd, also gilt wegen der Multiplikativität von f sowie einer entsprechenden Eigenschaft von g(n) für alle n<m folgendes:



Also ist doch , im Widerspruch zur Annahme.
 
 
sanna Auf diesen Beitrag antworten »

He super. Danke!!!

Das kann ich auch nachvollziehen. Ich weiss nur nicht, welche "entsprechende Eigenschaft" von g du meinst???

Lieber Gruß
Miko Auf diesen Beitrag antworten »
Schlußrichtungsfehler im Beweis
Hallo Arthur!

Ich bin auf der Suche nach einem Beweis für genau diese Behauptung per Suchmaschine auf dieses Forum gestoßen. Leider ohne den erhofften Erfolg, denn Dein Beweis hat eine dicke Krücke! Denn schon die erste Zeile der letzten Schlußrichtungen benutzt ja, dass gilt. Im Endeffekt wird damit lediglich die Multiplikativität von gezeigt.

Zweiter kleiner Fehler: Es gilt nicht zwingend , denn das gilt nur für multiplikative Funktionen, und die Multiplikativität von ist ja gerade erst zu zeigen. Aber das hat keine Auswirkungen auf den Beweis.

Gruß,
Michael
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis ist korrekt. Du denkst nur nicht richtig mit:

ist als multiplikativ vorausgesetzt, also ist , außerdem ist natürlich . Nun ist , also folgt



Das ist der eine Punkt deiner unberechtigten Kritik. Und der andere Punkt:

Ich benutze , ja - aber doch nicht !!! Der Ansatz im indirekten Beweis, dass die kleinste Zahl ist mit bedeutet doch, dass ich für alle mit die Aussage nutzen darf! Und das nutze ich dann auch, um die Aussage zum Widerspruch zu führen.
Miko Auf diesen Beitrag antworten »
Meinte was anderes
Hallo Arthur!

Das mit ist mit Deiner Argumentation schon richtig, aber das ist auch nicht das Problem, dass ich sehe.

Es geht auch nicht um die Multiplikativität von .

Der Haken, den ich sehe, ist die letzte Gleichungskette, mit beginnend. Du hast eine Zeile drüber gezeigt, dass gleich der hinteren Doppelsumme ist, was an der Multiplikativität von und der entsprechenden Eigenschaft von für kleinere Argumente liegt. Soweit richtig.

Aber dann beginnt die Zeile mit , wobei wir schon wissen, dass die Summe gleich ist. Damit kann die Gleichung nur korrekt sein, wenn



ist, oder? Ich meine das Aufstellen dieser Gleichung ist ein Schlußrichtungsfehler. Die ganzen Umformungen berühren diese ersten beiden Summanden ja auch gar nicht. Wenn ich etwas komplett übersehe, oder ein totales Brett vor dem Kopf habe, dann Sorry! :-)

Gruß,
Michael
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Miko
Du hast eine Zeile drüber gezeigt, dass gleich der hinteren Doppelsumme ist, was an der Multiplikativität von und der entsprechenden Eigenschaft von für kleinere Argumente liegt.

Nein, in der Zeile nutze ich diese Multiplikativität noch nicht, weder die von noch die (eingeschränkte) von . Das tue ich erst in der nächsten Zeile. In der vorliegenden Zeile setze ich nur die Definition des Faltungsprodukts für das Argument ein.

Zitat:
Original von Miko
Aber dann beginnt die Zeile mit , wobei wir schon wissen, dass die Summe gleich ist.

Das nutzen wir aber erst ganz zum Schluss. Die Umformungen davor, insbesondere die Gleichheit macht keinerlei Gebrauch davon, sondern sind eine reine Umformung der Zeile darüber, jetzt aber unter Nutzung der Multiplikativität von sowie der Multiplikativität von für .

Zitat:
Original von Miko
Wenn ich etwas komplett übersehe, oder ein totales Brett vor dem Kopf habe, dann Sorry! :-)

Brett vorm Kopf, das ist es.

Also mal ganz langsam: Die Zeile



akzeptierst du doch noch, oder? Jetzt betrachten wir mal von der Summe hinten den Summanden im Fall :



In der nächsten Zeile, die zunächst nur eine Umformung der letzten Zeile ist, haben wir in der Summe hingegen folgenden Summandes im Fall :



Weil ich eben gerade nicht benutze (!!!), gleiche ich diesen "Fehler" durch den Korrektursummanden vor letzterer Summe aus.

Für alle anderen Summanden, also oder gilt ja , und dort kann ich ja wegen der Minimalitätskonstruktion von die Beziehung nutzen.

Und dass am Ende dieser richtigen Schlußkette dann doch rauskommt, komplettiert doch den indirekten Beweis!!!


So, ausführlicher geht's kaum - jetzt musst du dir auch mal Mühe geben, den Beweis zu verstehen.


P.S.: Wenn du jetzt erneut behauptest, dass der Beweis falsch ist, ohne stichhaltige Gründe (Gegenbeispiel, etc.) vorzulegen, dann bin ich langsam ziemlich verärgert. böse
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