multiplikative zahlentheoretische Funktion

01.06.2005, 11:49	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
multiplikative zahlentheoretische Funktion Hallo Leute. Wie zeigt man, dass f(n) := [sqrt(n)] - [sqrt(n-1)] eine multiplikative zahlentheoretische Funktion ist? n aus den natürlichen Zahlen [x] Gauß-Klammer
01.06.2005, 12:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, ich würde an deiner Stelle erstmal die Funktion f etwas analysieren und dann verständlicher schreiben. Dazu folgende Hinweise: 1.Welche Funktionswerte treten überhaupt nur auf? (Antwort: 0 und 1) 2.Für welche n gilt f(n)=1? Und mit dieser Darstellung dann ist die Multiplikativität nur noch Formsache. P.S.: Monatelang keine Anfragen im Board zu multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen, und dann gleich zwei innerhalb weniger Minuten! Kennt ihr euch, heiko und sanna?
02.06.2005, 20:41	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Also f(n) = 1, wenn n eine Quadratzahl und ansonsten null. Aber wie kann man nun zeigen, dass f multiplikativ ist? Soll ich dann die drei Faelle betrachten: 1. f(m*n) 2. f(m1,m2) 3. f(n1,n2) wobei m Quadratzahlen und n keine sind. Gruss heiko ps: kenne keine Sanna
02.06.2005, 22:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundsätzlich sind für die Gültigkeit von f(mn)=f(m)f(n) für teilerfremde m,n zwei Fälle zu untersuchen: 1. mn ist keine Quadratzahl, also f(mn)=0: Dann ist zumindest eine der beiden Zahlen m, n keine Quadratzahl. 2. mn ist Quadratzahl, also f(mn)=1: m und n sind beides Quadratzahlen, denn andernfalls wären m und n nicht teilerfremd.
03.06.2005, 17:46	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm, aber wenn ich jetzt zum Beispiel m=4 und n=16 nehme, dann ist das Produkt auch eine Quadratzahl, aber der ggT(m,n)=4 und nicht eins... und wie zeig ich, dass wenn m=Quadratzahl und n keine,dann der ggT(m,n)=1 ist? Gruss heiko
03.06.2005, 17:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Aussage ist falsch, und hier überhaupt irrelevant! Du bringst da logisch was gehörig durcheinander: Du musst nur zeigen, dass f(mn)=f(m)f(n) für teilerfremde m,n gilt. Und dafür habe ich oben die zwei Fälle skizziert. Du musst (und kannst auch gar) nicht zeigen, dass aus f(mn)=f(m)f(n) die Teilerfremdheit von m und n folgt!!!
Anzeige

03.06.2005, 19:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ heiko Für eine Primzahlpotenz $\begin{eqnarray} p^k \, (k \geq 0) \end{eqnarray}$ gilt ja $\begin{eqnarray} f \left( p^k \right) = \begin{cases} \ 1 \, , & \text{falls } k \text{ gerade} \\ \ 0 \, , & \text{falls } k \text{ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray}$ Vielleicht fällt es dir leichter, wenn du erst die Gleichung $\begin{eqnarray} f \left( p^k q^l \right) = f \left( p^k \right) f \left( q^l \right) \end{eqnarray}$ für verschiedene Primzahlen $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ untersuchst. Unterscheide die Fälle $\begin{eqnarray} k,l \end{eqnarray}$ beide gerade und $\begin{eqnarray} k,l \end{eqnarray}$ nicht beide gerade.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »