Streckenweg und Cauchyscher Integralsatz

01.06.2005, 12:34	Spieky	Auf diesen Beitrag antworten »
Streckenweg und Cauchyscher Integralsatz Hallo, wir haben folgende Aufgabe: Auf $\begin{eqnarray} U:= \mathbb C \mathbb R \leq 0 \end{eqnarray}$ definiere man eine Funktion f:U nach C durch $\begin{eqnarray} f(z)= \int_{1}^{z}~1/w~dw \end{eqnarray}$ Zeige: Für $\begin{eqnarray} z=r\cdot e^(i\phi) \end{eqnarray}$ mit r>0 und $\begin{eqnarray} \phi \in (- \pi, \pi ) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(z)=logr+i\cdot phi \end{eqnarray}$ . Tip: Unter Benutzung des Cauchyschen Integralsatzes kann man den Streckenweg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ von 1 nach z durch einen geeigneten Weg $\begin{eqnarray} \alpha \bigcup \beta \end{eqnarray}$ ersetzen. Es geht aber auch direkter, nämlich mit der Funktion Log, doch sollten Sie dann jedes Ihrer Argumente belegen. Kann mir jemand helfen? EDIT: Latex verbessert, Doppelpost zusammengefügt
01.06.2005, 15:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Frage ist schwer zu beantworten. Es gibt ja nicht nur eine Möglichkeit, in die komplexe Integrationstheorie einzuführen. Je nach dem Vorgehen der Vorlesung kann diese Aufgabe eine Trivialität sein, genauso wie sie bei einem anderen Vorgehen mit Aufwand verbunden ist. Zunächst einmal interpretiere ich das etwas kryptisch definierte $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ als die längs der negativen reellen Achse aufgeschlitzte Gaußsche Zahlenebene, also das Gebiet $\begin{eqnarray} U = \mathbb{C} \setminus (-\infty,0] \end{eqnarray}$ Ferner betrachte ich den bezüglich der reellen Achse symmetrischen offenen Horizontalstreifen der Breite $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} S = \mathbb{R} + \operatorname{i} \, (-\pi,\pi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ sind offene und zusammenhängende Mengen, also Gebiete von $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Nun bildet die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} \exp(z) = \operatorname{e}^z \end{eqnarray}$ den Streifen $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ bijektiv und holomorph auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ab (ist das bekannt?). Ihre mit $\begin{eqnarray} \log{z} \end{eqnarray}$ bezeichnete Umkehrfunktion ist dann auch holomorph (ist das bekannt?) und bildet $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ab. Es handelt sich somit um den sogenannten Hauptzweig des Logarithmus: $\begin{eqnarray} \log{z} = \ln{\|z\|} + \operatorname{i} \, \operatorname{arg}{z} \ \ \text{mit } \ \operatorname{arg}{z} \in (-\pi,\pi) \end{eqnarray}$ Wenn man $\begin{eqnarray} z = r \operatorname{e}^{\operatorname{i} \varphi} \ \ \text{mit } \ r>0\, , \, \varphi \in (-\pi,\pi) \end{eqnarray}$ schreibt, heißt das also $\begin{eqnarray} \log{z} = \ln{r} + \operatorname{i} \varphi \end{eqnarray}$ Nun besitzt aber $\begin{eqnarray} \log{z} \end{eqnarray}$ die Ableitung $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ , oder andersherum: $\begin{eqnarray} \log{z} \end{eqnarray}$ ist eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ , bezogen auf das Gebiet $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ (ist das bekannt?). Besitzt aber eine Funktion auf einem Gebiet eine Stammfunktion, so ist das Integral wegunabhängig und kann mittels der Stammfunktion wie im Reellen berechnet werden (ist das bekannt?): $\begin{eqnarray} \int_1^{z}~\frac{\mathrm{d}w}{w} \ = \ \log{z} - \log{1} \ = \ \log{z} \ = \ \ln{r} + \operatorname{i} \varphi \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht, ob dir diese Erläuterungen helfen. Denn gültig ist diese Erläuterung nur, wenn du alle meine eingeschobenen Fragen mit einem sicheren "Ja" beantworten kannst.

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