Eigenwerte hermit'scher Matrix

01.06.2005, 13:05

PostalService

Eigenwerte hermit'scher Matrix

Ich habe folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 7 & -5i & 4i \\ 5i & 7 & 4 \\ -4i & 4 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte errechne ich ja über $\begin{eqnarray*} det (A- \lambda E) \end{eqnarray*}$

Das führt dann zu

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 7- \lambda & -5i & 4i \\ 5i & 7-\lambda & 4 \\ -4i & 4 & -2-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 7- \lambda & -5i & 4i \\ 0 & \lambda²-14\lambda+24 & -4\lambda+48 \\ 0 & -4\lambda+48 & \lambda²-5\lambda-30 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 7- \lambda & -5i & 4i \\ 0 & \lambda²-14\lambda+24 & -4\lambda+48 \\ 0 & 0 & \lambda^4-19\lambda³+48\lambda²+684\lambda-3024 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} (7- \lambda)(\lambda²-14\lambda+24)(\lambda^4-19\lambda³+48\lambda²+684\lambda-3024) \end{eqnarray*}$

Und laut CAS kommt aber -(\lambda-12)(\lambda-6)(\lambda+6)

Wo liegt denn da mein Fehler???

Danke!

01.06.2005, 13:57

JochenX

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halli hallo

deien determinante sind nicht die eigenwerte, sondern die nullstellen des entstehenden polynoms sind dann die eigenwerte.
das kam bei dir ungenau rüber.....

was rechnest du denn da? da muss ein polynom dritten (und nicht höheren oder kleineren) grades rauskommen....
allein schon dieses lambda^2 das da in der 2. matrix steht kommt mir spanisch vor.
poste mal bitte mit einzelschritten

edit: wenn du eine ganze zeile (bzw. spalte) mit a erweiterst, dann musst du bei der determinantenberechnung 1/a vors ganze schreiben......

01.06.2005, 15:40

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RE: Eigenwerte hermit'scher Matrix

Zitat:

Original von PostalService
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 7- \lambda & -5i & 4i \\ 5i & 7-\lambda & 4 \\ -4i & 4 & -2-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 7- \lambda & -5i & 4i \\ 0 & \lambda²-14\lambda+24 & -4\lambda+48 \\ 0 & -4\lambda+48 & \lambda²-5\lambda-30 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Versuch einer Fehlererklärung:

PostalService wird das $\begin{eqnarray*} \frac{5i}{7-\lambda} \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile von der zweiten abgezogen haben. Soweit ist das korrekt (bis auf den Ausnahmefall $\begin{eqnarray*} \lambda=7 \end{eqnarray*}$ , blablabla - unwichtig). Aber dann multipliziert er diese Zeile mit $\begin{eqnarray*} (7-\lambda) \end{eqnarray*}$ , und das ändert natürlich die Determinante und damit das charakteristische Polynom: Der Grad wird unter Beibehaltung der echten Nullstellen um Eins erhöht, es taucht die "Scheinlösung" $\begin{eqnarray*} \lambda=7 \end{eqnarray*}$ auf...

Und das passiert wohl mehrfach. Wink

01.06.2005, 22:04

PostalService

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Danke, da hatte ich wohl etwas nicht richtig verstanden. Werde mir aber in Zukunft das Leben leichter machen und passend Spalten und Zeilen vertauschen. Und ich werde dabei auch auf (-1^n) achten, wobei n die Anzahl dieser Tausche ist, korrekt? ;-)

02.06.2005, 10:03

JochenX

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Zitat:

edit: wenn du eine ganze zeile (bzw. spalte) mit a erweiterst, dann musst du bei der determinantenberechnung 1/a vors ganze schreiben......

einfach das beachten......

und ja: vertauschst du 2 zeilen oder spalten, wird die determinante zum negativen wert. musst also für jede vertauschung ein - davor schreiben....
(-1)^n*.... wäre also korrekt

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