Ganzrationale Funktionen

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Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »
Ganzrationale Funktionen
Hallo,

mein Problem besteht bei Aufgaben höheren Grades, bei denen man die Nullstellen finden muss. Dazu habe ich einige Fragen.

Nr. 1

f(x) = -x^3+9x²-27x+27

Als Lösung bekomme ich

f(x) = -(x-3)²

Allerdings lautet die Lösung -(x-3)^3

Wie kommt man denn auf diese Lösung und woran erkenne ich die Vielfachheit von Nullstellen?


Dann haut mal in die Tasten, ich danke euch schonmal!

Melli
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ganzrationale Funktionen
Zitat:
Original von Melli-ll
Als Lösung bekomme ich

f(x) = -(x-3)²

Wie kommst du denn auf diese Lösung? Was hast du gerechnet?
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ganzrationale Funktionen
verschoben

mit etwas Übung erkennst du, dass es sich hier um die Formel

multiliziert mit -1 handelt.

rechne mal dein Ergebnis aus, wie würde da die Funktion lauten?

sonst findest du (falls vorhanden) eine ganzzahlige Nullstelle, indem du die Teiler des konstanten Gliedes ausprobierst, hast du eine passende gefunden, wendest du die Polynomdivision an
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von grybl
sonst findest du (falls vorhanden) eine ganzzahlige Nullstelle, indem du die Teiler des konstanten Gliedes ausprobierst, hast du eine passende gefunden, wendest du die Polynomdivision an

Und die Vielfachheit findest du allgemein dann so:
Wenn du eine Nullstelle a gefunden hast, machst du für gegebenes eine Polynomdivision durch und bekommst so ein neues Polynom . Dann ist



Wenn a keine Nullstelle von ist, dann hat a als Nullstelle die Vielfachheit 1. Wenn doch, dann machst du nochmal Polynomdivision mit und erhältst ein neues Polynom . Dann ist



Wenn a keine Nullstelle von ist, dann ist es eine doppelte Nullstelle. Wenn doch, machst du wieder Polynomdivision bei durch usw., bis a keine Nullstelle mehr ist und dann kannst du die Vielfachheit bestimmen ...

Gruß MSS
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber deine Erklärung versteh ich noch nicht ganz, Mathespezialschüler. Wir haben in der Schule die Vielfachheit öfters mal an den Exponenten abgelesen? Allerdings kann ich mir das auch nicht erklären. Würdest du es nochmal für mich einfacher erklären *ganzliebkuck*
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du denn daran nicht? Ich glaube, das ist einfach nur zu abstrakt, deswegen mach ich es an deinem Beispiel:



Also du hast herausgefunden, dass 3 eine Nullstelle ist. Jetzt machst du eine Polynomdivision und erhältst dabei (rechne das nach! Augenzwinkern )

.

Hier ist das von oben. Es gilt:

.

Jetzt guckst du, ob 3 auch eine Nullstelle von ist und du merkst: Ja, ist sie! Also nochmal Polynomdivision: Du erhältst



ist das von oben. Also ist



und damit



.

Und jetzt guckst du, ob 3 auch eine Nullstelle von ist, natürlich ist sie das und hier brauchst du keine Polynomdivision, das geht auch so mit dem Linearfaktor abspalten:

,

also ist damit



.

und da siehst du jetzt die Vielfachheit. Jetzt klarer? Augenzwinkern

Gruß MSS
 
 
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, is echt lieb von dir *bussi*

Jetzt bräuchte ich nur noch Hilfe bei dieser Aufgabe:64x²+8x^5

Mein Ansatz war zuerst Ausklammer was zu 8x(8x+x^4) führte. Danach habe ich allerdings überhaupt keinen Plan mehr!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt bräuchte ich nur noch Hilfe bei dieser Aufgabe:64x²+8x^5

was willst du denn damit machen?
das ist ja nur ein term, soll der vereinfacht werden?
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry. Brauche wieder die Nullstellen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

dann meinst du oben sicher auch die funktion f(x)=64x²+8x^5

anfang ist gut, klammere beim funktionsterm 8x^2 aus.
danach überleg dir mal, wann ein produkt 0 wird.
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, LOED. Habe genau das gemeint!

Hmmm.... also 8x+x^4 gleich 0 setzen? 8x+x^4=0? Hab ich mir überlegt, allerdings komme ich dabei zu keinem Ergebnis?



Allgemeine Frage: Bei dieser Methode kommt doch keine Polynomdivision zur Anwednung, oder? Wann kann ich das anwenden. Sprich wann kann ich ausklammern und den Term gleich 0 setzen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
klammere beim funktionsterm 8x^2 aus

und das ausgeklammete nicht unter den tisch fallen lassen.
setze das ganze produkt =0.
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Hey...

du meinst 8x² ausklammern? Dann würde ich ja:

8x²(8+x^2,5) bekommen oder stehe ich jetzt ganz auf dem Schlauch?
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry... *g*

64x²+8x^5

8x²(8+8x^3) oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

die 8 vor der x^3 ist falsch, da bleibt nur 1 über
siehst du wieso?
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ist klar. Danke! Danach Null setzen und das Ergebnis wäre dann meine Nullstelle, oder? Eine erste Nullstelle, nämlich die 0 kann ich ja sofort nennen!? Wie kann ich herausfinden ob es noch mehr gibt?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, 0 ist dopellte nullstelle

aber du hast ja noch mehr?
was liefert dir denn noch nullstellen?

es gilt: ein produkt ist genau dann null, wenn einer....... 0 ist
na?
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre denn das Ergebniss von 8+x^3 = 0 ? Habe leider grad keinen Taschenrechner da, sorry. Wie kommst du denn darauf dass 0 doppelte Nullestelle ist? Danke.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du hast ......x^2=0; die hochzahl bei x ist 2, d.h. der faktor liefert eine doppelte nullstelle.

oder wie MSS sagt: nach abspalten von (x-0) von deinem polynom bleibt x=0 beim restpolynom noch als nullstelle erhalten.

zu 8+x^3=0
errate eine nullstelle, anschließend polynomdivision
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank. Verstanden soweit Augenzwinkern

Also faktorisieren kann ich immer wenn bei jeder Zahl ein x dabei steht oder? Ansonsten gilt doch für alle Aufgaben, bei denen das nicht möglich ist: Nullstelle erraten und Polynomdivison, oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

die polynomdivision lässt dich ja dein polynom faktorisieren....
dein polynom als (x-NULLSTELLE)*Restpolynom (das du wiederum durch PD findest) zu schreiben, ist ja faktorisierung).
wenn bei jedem summanden x dabeisteht ist die faktorisierung eben sehr leicht, weil du x-0 durch PD abspaltest und diese PD ist natrülich sehr leicht!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
zu 8+x^3=0
errate eine nullstelle, anschließend polynomdivision

Da muss man doch nicht raten! Augenzwinkern



Man sieht sofort die Lösung! Augenzwinkern

Gruß MSS
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Man sieht sofort die Lösung! Augenzwinkern

Öhmm, dem möchte ich entgegensetzen!

Nicht jeder sieht das sofort, Max. Augenzwinkern
Allerdings hast du Recht, da man hier eben die NST nicht erraten muss, sondern in diesem Sinne ja direkt errechnen/ersehen kann. smile


Gruss
Jan
Melli-ll Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, mal wieder!

Also wäre -8 eine dreifache Nullstelle?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hhhm, nein. . Eine Lösung ist -2, denn .
Aber es ist nur eine einfache Nullstelle. Das siehst du, wenn du die Polynomdivision machst. Du erhältst ein neues Polynom und da -2 nicht Nullstelle von diesem ist, ist sie nur eine einfache Nullstelle. Klar? Augenzwinkern

Gruß MSS
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