Umkehrfunktion

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11.01.2008, 12:19	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion Hey!! Hab mal eine dumme Frage! Ich soll für eine Funktion f: A->B durch Kontraposition folgendes beweisen: [latex] f^-1[/latex => f ist injektiv und f ist surjektiv So, dass ist meine Aufgabe. Leider weiß ich nicht wie ich das anstellen soll, da ich doch keine Kontrapositon durchführen kann um zu beweisen wenn es stimmt... :-( oje. Hoffe ihr habt einen Tip für mich!!
11.01.2008, 13:22	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
es soll wohl heißen: $\begin{eqnarray} f^{-1}: B \mapsto A \text{ existiert } \Longrightarrow \text{ f ist surjektiv und injektiv } \end{eqnarray}$ liege ich in der annahme richtig?
11.01.2008, 13:28	brain man	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit 1-3^^ : Eh zu spät... Edit 4 : Zum Prinzip der Kontraposition. Dabei kannst du damit arbeiten, dass : $\begin{eqnarray} A \Rightarrow B \Leftrightarrow \overline{A} \Rightarrow \overline{B} \end{eqnarray}$ Also folgt aus deiner Aussage : Gibt es keine Umkehrfkt., ist die Ursprungsfunktion nicht bijektiv. Das kannst du beweisen.
11.01.2008, 14:04	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
Also war jetzt soweit: Die Umkehrfunktion existiert nicht immer: $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ existiert nur, wenn f zugleich injektiv und surjektiv und somit bijektiv ist. => $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ muss auf dem Werteberiech Wf definiert sein, d.h. Df- = Wf. Charakteristische Eigenschaften der Umkehrfunktion sind $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ (f(a)) = a VaEA und f( $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ (b)) = b VbEA Ist eine dieser EIgenschaften verletzt, so ist $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ keine Umkehrfunkion. Also bin ich da nicht auf dem richigen Weg??? Also ist meine Behauptung die zu beweisen ist: Gibt es keine Umkehrfunktion, ist die Ursprungsfunktion nicht bijektiv. Kann ich als Beweis dann einfach eine der oben genannten Eigenschaften ungleich a oder b setzten?
11.01.2008, 14:09	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder muss ich die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ beweisen, welche f: ( $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ hoch -1 = f ist? Oder kann ich zum Beispiel schreiben, das f(a) kein Element aus B und und daher wegen der Bijektivität $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ (b) kein eindeutiges Element von A ist und somit ist das ein Gegenbeweis?? Oder muss ich das ganze anders schreiben/angehen?
11.01.2008, 14:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst beweisen: ist die funktion nicht bijektiv, dann gibt es keine umkehrfunktion von B nach A
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11.01.2008, 15:26	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, aber wie mache ich das wenn nicht so wie ich oben geschrieben hab?
11.01.2008, 15:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich sehe da oben noch kein beweis, sondern nur erste vorüberlegungen. nimm erst an $\begin{eqnarray} f: A \mapsto B \end{eqnarray}$ sei nicht injektiv sowie dass $\begin{eqnarray} f^{-1}: B \mapsto A \end{eqnarray}$ existiert und folgere einen widerspruch. nimm dann an $\begin{eqnarray} f: A \mapsto B \end{eqnarray}$ sei nicht surjektiv sowie dass $\begin{eqnarray} f^{-1}: B \mapsto A \end{eqnarray}$ existiert und folgere einen widerspruch. edit: latex verbessert
11.01.2008, 17:57	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie führe ich denn enen beweis durch? kann ja nicht schreiben f( $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ (x)) = x VxEB und $\begin{eqnarray} f^-1 \end{eqnarray}$ (f(x))=x VxEA sry. aber finde keinen anfang wie ich das beweisen sollte. kann ja schlecht schreiben für das erste x ungleich y
11.01.2008, 18:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
nehmen wir an f ist nicht injektiv. dann existieren $\begin{eqnarray} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray}$ . nun gilt $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(a_1))=a_1 \end{eqnarray}$ kannst du weitermachen? sollst du das eigentlich wirklich mit widerspruch machen? ist irgendwie sinnlos
11.01.2008, 19:54	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
nehmen wir an f ist nicht injektiv. dann existieren $\begin{eqnarray} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray}$ . => $\begin{eqnarray} f(a_1)\neq f(a_2) \end{eqnarray}$ nun gilt $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(a_1))=a_1 \end{eqnarray}$ <- das stimmt aber (ist eine Eigenschaft für Umkehrungsfunktion. d.h. ja ich muss die irgendwie verneint bekommen?? sry. aber irgendwie hab ich voll dir Blockade... komm leider nicht drauf wie ich da wietermachen soll sollst du das eigentlich wirklich mit widerspruch machen? ist irgendwie sinnlos? Ja :-( leider
11.01.2008, 19:59	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast ja eben herausgefunden, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(a_1))=a_1 \end{eqnarray}$ ist, nun untersuche $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(a_2)) \end{eqnarray}$ ...
11.01.2008, 20:35	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ist doch dann das selbe wie oben^^ für a1
11.01.2008, 20:40	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
ja eben, und was heisst das nun? kann das sein? denk an die definition einer funktion (wie viel funktionswerte kann ein urbild haben?)
11.01.2008, 20:44	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
eines
11.01.2008, 20:50	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie viele verschiedene (wieso verschiedene) funktionswerte hat denn nun $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ an der stelle $\begin{eqnarray} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray}$ ?
11.01.2008, 20:59	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
2 oder?
11.01.2008, 21:03	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
ganz genau, und kann das sein dass eine funktion an der gleichen stelle 2 funktionswerte hat?
11.01.2008, 21:05	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
nein.
11.01.2008, 21:08	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
na bitte, da ist er also dein widerspruch !
11.01.2008, 21:17	kueken	Auf diesen Beitrag antworten »
ach cool danke!
11.01.2008, 21:20	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst aber noch beweisen, dass $\begin{eqnarray} f:A\to B \end{eqnarray}$ surjektiv ist

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