Kegel mit r=6cm entspricht 1liter wasser...wo ist die 0,5l marke?

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11.01.2008, 15:37	The Allkiller	Auf diesen Beitrag antworten »
Kegel mit r=6cm entspricht 1liter wasser...wo ist die 0,5l marke? Moin Leute, hab hier eine Aufgabe aus dem Buch auf, bei der ich überhaupt nicht weiterkomme: Ein kegelförmiger Messbecher mit einem Grundkreisradius von 6com soll genau 1l Fassungsvermögen besitzen. In welcher Höhe muss die Markierung für 0,5l angebracht werden? bin jetzt soweit, dass ich die Höhe des Kegels und somit der 1l Marke ermittelt habe, indem ich die Volumenformel eines Kegels nach h aufgelöst habe: $\begin{eqnarray} \frac{10003}{\pi36} = 26,53cm \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich versucht mit der Grundfläche des Kreises (laut meiner Rechnung 36pi = 113,1cm²) und dem strahlensatz irgendwie zu arbeiten, also $\begin{eqnarray} \frac{A_{1}}{V_{1}} = \frac{A_{2}}{V_{2}} \end{eqnarray}$ wenn ich das nach $\begin{eqnarray} A_{2} \end{eqnarray}$ auflöse komme ich auf 56,55cm². wenn ich nun die flächenformel eines kreises nach r umstelle, komme ich mit dieser fläche auf den radius von 13,33cm. wenn ich diesen jetzt in die volumenformel eines kegels einsetze und diese nach der höhe auflöse, komme ich auf $\begin{eqnarray} h_{2}=2,69cm \end{eqnarray*}$ wie würdet ihr weitermachen? hab mal gegoogelt da kommt etwas mit ca. 5,2 raus und es wurde die integralrechnung benutzt...allerdings hatten wir die noch nicht....haben nur nen tip mit dem strahlensatz bekommen gruß [Edit mY+: LaTex-Fehler verbessert]
11.01.2008, 16:34	Jin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist ja dass du den Radius und die Höhe des zweiten Kegels nicht hast, also 2 Variablen. Es gibt jedoch etwas, was die beiden Kegel gemeinsam haben, und zwar das Verhältnis zwischen Höhe und Radius(Lass die Fläche lieber raus, das machts nur komplizierter). $\begin{eqnarray} \frac{h_1}{r_1} = \frac{h}{r} \end{eqnarray}$ oder umgeformt $\begin{eqnarray} r = \frac{h \cdot r_1}{h_1} \end{eqnarray}$ Damit solltest du auf die Lösung kommen.
11.01.2008, 16:46	Alex-Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel mit r=6cm entspricht 1liter wasser...wo ist die 0,5l marke? Ich kann Dir mit meiner angehängter zip-Datei eine gewisse Hilfe geben. Vor zwei Jahren habe ich eine ähnliche Aufgabe gelöst, da ging es darum, wie hoch muss man ein Kegelglas auffüllen, dass es genau halb voll, bzw. halb leer ist. Wenn Du die Höhe für 1 Liter berechnet hast, dann gilt für die halbe Menge das selbe Prinzip
11.01.2008, 17:03	The Allkiller	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck mir deine Zip gleich mal an, danke schonmal hab jetzt folgendes gemacht, durch den tipp von Jin: also ich hab $\begin{eqnarray} r_{2}=\frac{r_{1}h_{2}}{h_{1}} \end{eqnarray}$ und demensprechend: $\begin{eqnarray} r_{2}^2=\frac{r_{1}^2h_{2}^2}{h_{1}^2} \end{eqnarray}$ dieses $\begin{eqnarray} r_{2}^2 \end{eqnarray}$ hab ich in die volumenvormel des Kegels gesetzt und V durch 500 (halber liter) ersetzt: $\begin{eqnarray} 500=\frac{1}{3} \pi r_{2}^2 h_{2} \end{eqnarray}$ nun $\begin{eqnarray} r_{2}^2 \end{eqnarray}$ eingesetzt und nach $\begin{eqnarray} h_{2} \end{eqnarray}$ aufgelöst: $\begin{eqnarray} h_{2}=\frac{3500703,84}{36 \pi h_{2}^2} \end{eqnarray}$ jetzt die h's auf eine seite: $\begin{eqnarray} h_{2}^3=\frac{3500703,84}{36 \pi} \end{eqnarray}$ jetz nach 3. wurzel ziehen komme ich auf $\begin{eqnarray} h_{2} = 21,06cm \end{eqnarray}$ hört sich plausibel an, oder? EDIT: musst es noch mit anderen volumen machen (1/4, 1/8 etc..) hab dabei die formel benutzt wie davor, also: $\begin{eqnarray} h_{neu}=\sqrt[3]{ \frac{3V_{neu}h_{Kegel}^2}{36\pi} } \end{eqnarray*}$
11.01.2008, 17:19	Alex-Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel mit r=6cm entspricht 1liter wasser...wo ist die 0,5l marke? Deine Lösung unten stimmt auch, wenn Du das Verhältnis bildest von (Halb-Voll-Höhe) : (Voll-Höhe) = 0,79370053, das ist das gleiche Ergebnis wie in meiner Martiniglas-Rechnung
11.01.2008, 17:23	Alex-Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel mit r=6cm entspricht 1liter wasser...wo ist die 0,5l marke? Zu deinen weiteren Berechnungen: 1/4 voll ist die Hälfte von 1/2 voll, usw. das ist jeweils die 3.Wurzel aus 0,5 mal der jeweiligen Höhe von der doppelten Füllmenge
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11.01.2008, 17:29	The Allkiller	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das ist ja jetzt klar, hab einfach die neue zahl unten in meine super formel xD eingesetzt bei Vneu und eben die höhe bei hkegel... also wenn die formel da stimmt und mein rechenweg find ich das ja supi...danke leute
11.01.2008, 17:34	Jin	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs ohne Zwischenergebnis gerechnet $\begin{eqnarray} h = \frac{500\cdot3}{\pi \cdot (\frac{h\cdot6}{\frac{1000\cdot3}{\pi \cdot6^{2}}})^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h = \sqrt[3]{\frac{500 \cdot 1000^{2} \cdot 3^{3}}{ \pi^{3} \cdot 6^{6}}} = 21.053560434 \end{eqnarray}$ Passt also
11.01.2008, 17:38	The Allkiller	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr schön, vielen dank -close-

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