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01.06.2005, 22:19	ellocko	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur Wie zeige ich, dass für alle $\begin{eqnarray} A,B \in M(n~x~n, K) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Spur(A \cdot B) = Spur(B \cdot A) \end{eqnarray}$ ist ? ( $\begin{eqnarray} n \in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ) Jemand ne Idee?
01.06.2005, 22:33	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das folgt sofort durch direkte Rechnung. Berechne einfach beide Seiten und stelle fest, dass du das gleiche Ergebnis erhältst. Wirklich eine Aufgabe, wie sie einfacher nicht sein kann.
01.06.2005, 23:43	ellocko	Auf diesen Beitrag antworten »
Also quasi folgendermaßen ? $\begin{eqnarray} A := \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B := \begin{pmatrix} b_{11} & \dots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \dots & b_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} A \cdot B := \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & \dots & a_{1n}b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}b_{n1} & \dots & a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \cdot A := \begin{pmatrix} b_{11}a_{11} & \dots & b_{1n}a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}a_{n1} & \dots & b_{nn}a_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Somit ist $\begin{eqnarray} Spur(AB) = \sum_{i=1}^n~a_{ii}b_{ii} = \sum_{i=1}^n~b_{ii}a_{ii} = Spur(BA) \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig und reicht das als Beweis?
02.06.2005, 00:12	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies lieber nochmal nach, wie das Matrizenprodukt definiert ist. Prinzipiell meinte ich das aber so, ja.
02.06.2005, 16:01	ellocko	Auf diesen Beitrag antworten »
prima, danke...
02.06.2005, 16:12	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Um evt. Mißverständnisse vorzubeugen: Dein Beweis ist falsch nur die Vorgehensweise ist richtig. Denn die Matrixmultiplikation ist NICHT Komponentenweise definiert.
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02.06.2005, 17:05	ellocko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Ich denke mal, dass ich A und B normal definiert hab. Die Produkte sind wahrscheinlich falsch. Hab ich auch schon gesehen... Dann ist $\begin{eqnarray} A \cdot B := \begin{pmatrix} a_{1n}b_{n1} & \dots & a_{1n}b_{nn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{nn}b_{n1} & \dots & a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \cdot A := \begin{pmatrix} b_{1n}a_{n1} & \dots & b_{1n}a_{nn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{nn}a_{n1} & \dots & b_{nn}a_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Somit ist $\begin{eqnarray} Spur(AB) = \sum_{i=1}^n~a_{ii}b_{ii} = \sum_{i=1}^n~b_{ii}a_{ii} = Spur(BA) \end{eqnarray}$ Jetzt müsste es stimmen, oder?
02.06.2005, 21:08	Nullendomorphismus	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ist immernoch falsch. Der i,j-te Eintrag der Ergebnismatrix (also des Produkts von A und B) errechnet sich folgendermaßen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n\alpha_{ik} \beta_{kj} \end{eqnarray}$

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