Orthogonale Projektion auf Unterraum

02.06.2005, 16:49	Flinz	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Projektion auf Unterraum gegeben ist Unterraum $\begin{eqnarray} U = <u1,u2> \subseteq \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit dem kanonischen skalarprodukt und $\begin{eqnarray} y \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, u2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man soll nun die orthogonale Projektion von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ bestimmen. meine Methode, wie auch HIER SCHON einmal verwendet, wäre gewesen mir eine orthonormalbasis von U zu konstruieren und auf diese zu projezieren, mittels: Projektion: $\begin{eqnarray} p = \sum_{i=1}^2~\sigma(y,e_i) \end{eqnarray}$ . Nun wurde uns in der verbesserung aber folgende methode weitergegeben: $\begin{eqnarray} p = \alpha_1u_1+\alpha_2u_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha_1,\alpha_2 \end{eqnarray}$ Lösung des Gleichungssystems: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \sigma(u_1,u_1) & \sigma(u_1,u_2) \\ \sigma(u_2,u_1) & \sigma(u_2,u_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma(y,u_1) \\ \sigma(y,u_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kommt aufs gleiche ergebnis, und ich kann es mir irgendwie heuristisch erklären, aber kanns mir jemand mathematisch (ggf. auch noch präzise) erklären?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »