Schnitt von Gerade und Ebene

02.06.2005, 18:11	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt von Gerade und Ebene Ich habe ein Frage zur folgenden Aufgabe: Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E mit Hilfe dieser Übersicht. Bestimme den Durchstoßpunkt von g durch E, falls g nicht parallel zu E ist oder in E liegt. Mir ist klar, dass ich die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichsetzen muss. Das kann ich und kriege auch Ergebnisse für r, s und t raus. aber wie kann ich durch die ergebnisse darauf schließen ob die Gerade in E liegt, parallel zu E ist oder E schneidet? Beispiel: $\begin{eqnarray} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da kommt folgendes raus: r=1 s=-5 t=4 wenn man das dann für r, s und t die ergebnisse in die gleichsetzung einsetzt und es löst, kommt raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn sowas passiert, weiß man also, dass sich die gerade und die ebene schneiden und der durchstoßpunkt liegt dann bei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . richtig? wie erkenne ich aber, dass g parallel zu E ist oder in E liegt? erkennt man das schon an den ergebnissen für r, s und t oder wie kann man das wissen?
02.06.2005, 19:16	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
hab grad gesehen, dass wernerrin in einem ähnlichen thread folgendes angehängt hat: Klick das erklärt einiges, nur hab ich grad keine ahnung wie r, t und s aussehen müssen um zu sagen, dass sie keine lösung haben oder unendlich viele lösungen haben sie keine lösung wenn r=0, s=0 und t=0 rauskommt oder wie muss das aussehen?
02.06.2005, 20:33	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
du mußt eben das gls. lösen, im konkreten fall -2 + 7r = 1 + 0s + 1t ........ und so weiter, und hier hast du dann r = 1 , damit den schnittpunkt S(5/9/10) ein widerspruch ist z.b wenn du am ende 3 = 2 hast unendlich viele lösungen hast du, wenn am schluß z.b. 2 = 2 rauskommt r = s = t = 0 ist an sich kein widerspruch da müssen dann aber die beiden aufpunkte gleich sein, und das ist dann entweder der schnittpunkt oder die gerade liegt in der ebene, was man dann wohl mit dem richtungs- bzw. normalenvektor überprüfn muß ich hoffe, es stimmt alles werner
03.06.2005, 15:24	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst das ganze auch durch lineare Abhängigkeit lösen! kennst du schon die koordinatengleichung einer ebene? gruß, aRo

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