Abstand zweier Ebenen

03.06.2005, 10:58

Frooke

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Abstand zweier Ebenen

Zu Hülf: Sitze bei folgender Aufgabe fest:
Gegeben sind die beiden Ebenen
E1: 7x-5y-3z-266 = 0
E2: 7x-5y-3z-17 = 0 P(5|3|1)

Berechne Abstand der Ebenen:
Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{249}{\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$

Stelle die Gleichung einer Ebenen E3 auf, die von den beiden Ebenen E1 und E2 den gleichen Abstand hat.

(-141.5 ??)

Danke für die Hilfe Hammer

Hammer

03.06.2005, 11:05

brunsi

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RE: Abstand zweier Ebenen
forme E_1 in normalform um und setze dann den Punkt P, der ja vermutlich in der Ebene E_2 liegen soll für x in die Hessische Normalform ein. dann bekommste deinen Abstand.

Haste das so gemacht?

edit: und wennd u dann den abstand herausgerechnet hast, musst du davond ie hälfte nehmen,da die beiden ebenen genau den gleichen abstand haben sollen.

und da die Ebene E_3: sicherlich dann noch parallel zu den anderen beiden liegen soll, nimmste einfach den Normalenvektor der Ebene E_1 und setzt dessen Koordinaten gleich dem vorher ausgerechneten radius.dann biste fertig.

03.06.2005, 11:24

Frooke

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Ja danke, hab ich alles so gemacht, ich krieg dann aber widersprüchliche Resultate!
Kannst Du's mal nachprüfen?

Also beim Abstand bin ich mir ziemlich sicher! Und bei der Ebenen E3 mach ich wohl einen Denkfehler:
Kann ich nicht einfach sagen, dass diese auch von der Form: 7x-5y-3z+A = 0 ist und dann
A=-(266-17)/2
Das gibt eben nicht dasselbe, wie wenn ich's mit der Normalform mache Hammer

Hammer

03.06.2005, 12:10

brunsi

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RE: Abstand zweier Ebenen
also für den abstand der beiden Ebenen bekomme ich $\begin{eqnarray*} \frac{219}{\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$ raus

ich habe den Punkt $\begin{eqnarray*} P(30\mid-10\mid-2) \end{eqnarray*}$ bei der Ebene e_1 herausgerechnet. also dieser punkt liegt direkt in der ebene

und meine HNF der Ebene E_2 ist:

$\begin{eqnarray*} [\vec{x}-\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}]*\frac{1}{\sqrt{83}}\begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so dann kommt eben mein abstand raus. so werde noch eben den rest rechnen.

edit1: $\begin{eqnarray*} \frac{249}{2*\sqrt{83}}=\frac{d}{2} \end{eqnarray*}$

so kannst du meins auch ncoh mal nachrechnen? vielleicht hab ich irgendwo nen rechenfehler drin??

edit: hast recht, ich hab da nen vorzeichenfehler drin, dein abstand ist richtig, ich korrigiere das eben.

03.06.2005, 12:26

Frooke

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Ich hab aber für den Abstand grad direkt den Punkt $\begin{eqnarray*} \mathrm{P_{E_2}}(5|3|1) \end{eqnarray*}$ gewählt... Dabei ist bei mir eben
$\begin{eqnarray*} \frac{249}{\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$
EDIT: Wurzel hineditiert! Danke Dennis!!!

Bist Du sicher, dass Du da nicht 4 und 1 vertippt hast?

Und für die mittlere Ebene krieg ich jetzt eben, indem ich die halbe Distanz nehme
7x-5y-3z-141.5=0 (und das stimmt so glaub ich auch)
Aber weshalb kann man nicht grad die Differenz des letzten Gliedes halbieren?

Also -(266-17)/2=-124.5... Sollte doch das Gleiche herauskommen! Oder mache ich einen Denkfehler?

03.06.2005, 12:29

brunsi

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wie meinst du das?

Zitat:

Bist Du sicher, dass Du da nicht 4 und 1 vertippt hast?

edit: du hast die wurzel im nenner vergessen.

welche ebene hast du denn für die abstandsbestimmung gewählt??

du müsstest dann ja die Ebene E_1 gewählt haben??

aber selbst, wenn du dann deinen Punkt $\begin{eqnarray*} P_E2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, müsste es das gleiche ergebnis ergeben. schreib doch mal bitte deine rechnung hier rein. dann schauen wir, wo du evtl. oder ich nen fehler gemacht haben könnten

edit: ich hab meins korrigiert ich ahtte nen VZW drinn!!

edit2:die Ebene E_3 ist parallel zu den anderen beiden Ebenen, das stimmt und hat dementsprechen auch die Koordinaten form,s o wie du sie da angeführt hast.

edit3:

Zitat:

Aber weshalb kann man nicht grad die Differenz des letzten Gliedes halbieren?

das weiß ich leider auch nicht sogenau, aber ich such mal danach, vielleicht kann uns ja noch irgendjemand anders das noch beantworten??

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03.06.2005, 12:40

Frooke

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Ich bin mir ziemlich sicher, dass der Abstand der beiden Ebenen
$\begin{eqnarray*} \frac{249}{\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$
und nicht
$\begin{eqnarray*} \frac{219}{\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$
ist. Dachte, du habest vllt. die 1 und die 4 vertauscht...

Und ich kann meine Frage nochmals allgemeiner formulieren:
Es seien zwei Ebenen gegeben:
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_1: Ax+By+Cz+D_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_2: Ax+By+Cz+D_2=0 \end{eqnarray*}$
Es sind beide Ebenen parallel (da sie identische Normalenvektoren haben). Nun ist meiner Meinung nach doch eine Ebene, die von beiden Ebenen den selben Abstand hat
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_3: Ax+By+Cz+\frac{D_1-D_2}{2}=0 \end{eqnarray*}$
Oder man kann auch die HNF der Ebene 1 berechnen:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{HNF}(\varepsilon_1):=\frac{Ax+By+Cz+D_1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{eqnarray*}$
Anschliessend in diese HNF einen Punkt der Ebene 2 einsetzen und man erhält den Abstand der beiden Ebenen. Will man nun eine Ebene haben, die von beiden anderen Ebenen den gleichen Abstand hat, so kann man doch einfach das HNF-Ergebnis (ich nenne es R) durch zwei dividieren und behaupten:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{HNF}(\varepsilon_3):=\frac{Ax+By+Cz+Q}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\stackrel{!}{=}\frac{R}{2} \end{eqnarray*}$

Anschliessend löst man nach Q auf und sollte dasselbe kriegen! Das geht bei mir aber nicht...

Und ich sitz nun seit 2 Stunden über dem und sehe meinen Fehler nicht... unglücklich

unglücklich

EDIT: Konkret sieht das so aus: Den Abstand $\begin{eqnarray*} \pm\frac{249}{\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$ haben wir ja jetzt! Den hab ich halbiert:
$\begin{eqnarray*} \pm\frac{249}{2\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$
Jetzt hab ich die Ebene 3 aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{HNF}(\varepsilon_3):=\frac{7x-5y-3z+Q}{\sqrt{83}}\stackrel{!}{=}\pm\frac{249}{2\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$
Dann hab ich einen Punkt aus E1 und einen aus E2 eingesetzt und kriege als gemeinsames Ergebnis -141.5. Und das sieht irgendwie gut aus! Aber ich sehe nicht ganz, warum man denn nicht einfach
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_3: Ax+By+Cz+\frac{D_1-D_2}{2}=0 \end{eqnarray*}$
benutzen kann! Also Konkret:
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_3: 7x-5y-3z+\underbrace{\frac{-266+17}{2}}_{-124.5}=0 \end{eqnarray*}$

Doch -124.5 ist nicht dasselbe wie -141.5... Und ich tendiere eher zum Zweiten, sehe aber nicht genau, weshalb ich die Methode, die mich zu den -124.5 führt nicht verwenden kann... Hammer

Hammer

03.06.2005, 12:56

brunsi

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{HNF}(\varepsilon_1):=\frac{Ax+By+Cz+D_1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{eqnarray*}$

bei dem D_1 ist ein VZF drin.

edit: bedenke, dass normalerweise auch nochbetragsstriche bei der HNF angewendet werden, also musst du ja vorher die betragsstriche wegbekommen - war es quadrieren oder wurzelziehen um die betragsstriche weg zu bekommen??

03.06.2005, 13:02

Frooke

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Wie meinst Du das??? Kannst Du das erklären? Hammer

Hammer

EDIT: Hab obennoch was reineditiert... Kannst es ja mal ansehen!

03.06.2005, 13:06

brunsi

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normalerweise hast du ja eine Koordinatenform wie folgt:

$\begin{eqnarray*} ax+by+cz=d \end{eqnarray*}$

also must du ja um die HNF anwenden zu können auf der rechten siete eine 0 erzeigen also:

$\begin{eqnarray*} ax+by+cz-d=0 \end{eqnarray*}$ und da du ja schon bei deinen beiden Ebenen das $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ quasi schon auf der linken seite hast und das $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ ist, hast du hie in deiner gleichung einen Vorzeichenfehler (VZF) drin.

edit:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{HNF}(\varepsilon_3):=\mid\frac{7x-5y-3z+Q}{\sqrt{83}}\stackrel{!}\mid{=}\frac{249}{2\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$

achso,d as 1.war dir jetzt kalr oder?? es geht nur noch ums 2.???

03.06.2005, 13:10

Frooke

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Ich hatte sie eben so aufgeschrieben

$\begin{eqnarray*} ax+by+cz+d=0 \end{eqnarray*}$

Dann stimmts aber, oder nicht? Was ich eben nicht versteh, ist warum ich mit beiden Varianten, die mir beide logisch erscheinen, nicht auf das Gleiche komm:

Zitat:

Original von Frooke
Den Abstand $\begin{eqnarray*} \pm\frac{249}{\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$ haben wir ja jetzt! Den hab ich halbiert:
$\begin{eqnarray*} \pm\frac{249}{2\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$
Jetzt hab ich die Ebene 3 aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{HNF}(\varepsilon_3):=\frac{7x-5y-3z+Q}{\sqrt{83}}\stackrel{!}{=}\pm\frac{249}{2\sqrt{83}} \end{eqnarray*}$
Dann hab ich einen Punkt aus E1 und einen aus E2 eingesetzt und kriege als gemeinsames Ergebnis -141.5. Und das sieht irgendwie gut aus! Aber ich sehe nicht ganz, warum man denn nicht einfach
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_3: Ax+By+Cz+\frac{D_1-D_2}{2}=0 \end{eqnarray*}$
benutzen kann! Also Konkret:
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_3: 7x-5y-3z+\underbrace{\frac{-266+17}{2}}_{-124.5}=0 \end{eqnarray*}$

Was läuft hier falsch???

03.06.2005, 13:13

brunsi

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ich glaube, dass da irgendwie noch die normierung bei der 2.Möglichkeit fehlt, aber wieso wieß ich nicht.

Die 2.Variante wäre einfach keine Hessische Normalform und abstände kann man ja doch eigentlich so nur über den Betrag von Vektoren bestimmen und hier haben wir ja eigentlich gar keine verwirrt

verwirrt

verwirrt

03.06.2005, 13:44

Frooke

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Also, ich bin mal weitergekommen *freu*: Ich hab's nun einerseits mit der Normierung gemacht und andererseits noch damit, dass ich zwei Punkte (einen aus E1 und einen aus E2) gewählt habe, dann den Mittelpunkt zwischen den Beiden ausgerechnet hab, und die Ebene hindurchlegte! Es gibt beide Male -141.5 für d, das ist also 99% richtig!!!

Was ich nicht verstehe, ist warum man's denn mit dieser unnormierten Methode nicht machen kann... (Ich kanns mir einfach nicht ergründen...) Damit ist zwar die Aufgabe gelöst, aber ich seh immer noch nicht, warum ich's nicht unnormiert machen darf unglücklich

unglücklich

03.06.2005, 13:47

brunsi

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ich hab da bis jetzt acuh ncoh keine ahnung von, sorry. ich forsch mal weiter, vllt findet sich ja was??

03.06.2005, 13:54

Frooke

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Also wie gesagt -141.5 stimmt fast 100pro! Ich weiss nur nicht, weshalb man da nicht einfach das arithmetische Mittel der Ebenen berechnen kann...

03.06.2005, 13:55

brunsi

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ich weiß schon was du meinst, aber ich weiß da auch keinen reim drauf unglücklich

unglücklich

unglücklich

traurig

traurig

03.06.2005, 14:08

Frooke

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ICH HAB DEN FEHLER GEFUNDEN!!! Freude

Freude

Freude

Freude

FREUFREUFREU!!!

(Deswegen die feierliche Schrift!)
Ich hab'n Riesenblödsinn gemacht: Ich hatte zwar die Hälfte der Differenz gefunden, jedoch vergessen, sie wieder zum ursprünglichen kleineren Teil hinzuzufügen! Wenn man das aber vorsichtiger macht (aufpassen damit) dann geht's mit dem arithmetischen Mittel!!! Freu!

So cool!!! Rock

Rock

Danke Dennis für deine Unterstützung!!!

LG

03.06.2005, 15:16

Poff

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Was macht ihr denn für'n Gemurkse hier ??

E1: 7x-5y-3z-266 = 0
E2: 7x-5y-3z-17 = 0

( |n1|=|n2| =... )

d = 1/sqrt(7^2+5^2+3^2)*(266 -17) = 249/sqrt(83)
.

03.06.2005, 15:32

Frooke

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Zitat:

Original von Poff
Was macht ihr denn für'n Gemurkse hier ??

hat sich alles erledigt! Danke!

Zitat:

Original von Poff
E1: 7x-5y-3z-266 = 0
E2: 7x-5y-3z-17 = 0

( |n1|=|n2| =... )

d = 1/sqrt(7^2+5^2+3^2)*(266 -17) = 249/sqrt(83)

Kannst Du das mal erläutern?

03.06.2005, 15:45

Poff

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266 * 1/|(7;-5;-3)| ist der Abstand der ersten vom Ursprung und
17 * 1/|(7;-5;-3)| ist der Abstand der zweiten vom Ursprung

die Differenz der beiden Werte der Abstand der Ebenen unter sich.

Gefahr lauert dabei NUR beim Vorzeichen des Absolutgliedes. Ist das
bei GLEICHEM Normalenvektor verschieden, dann liegen die Ebenen
auf verschiedenen Seiten des Ursprungs und ihre Distanzen sind
dann zu addieren anstatt zu subtrahieren.
.

03.06.2005, 17:28

brunsi

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@Frooke:

was meinst du hiermit??

Zitat:

zum ursprünglichen kleineren Teil hinzuzufügen!

03.06.2005, 19:12

Frooke

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Sorry, war sehr unglücklich formuliert!

Ich geb's an einem Beispiel: Die «Mitte» zwischen 2 und 4 ist
a) (2+4)/2=3
b) (4-2)/2+2=3

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