Ergebnis als Bilder der Einheitsvektoren

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03.06.2005, 21:39	Tovok7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergebnis als Bilder der Einheitsvektoren Hallo! Ich moechte eine Aufgabe loesen, in der die Funktion h eine lineare Abbildung des Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist. Gegeben ist eine Abbildungsmatrix und ein Vektor des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ dessen Bild in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ich bestimmen soll. Soweit so gut. Mich verwirrt nur vollends, dass ich das Ergebnis als Bilder der Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ darstellen soll. Was bitte soll das heissen und wieso sind das Vektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ? Danke fuer Eure Antworten!
03.06.2005, 23:11	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ergebnis als Bilder der Einheitsvektoren Hallo, Stell dir´s am besten so vor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x=1 \\ y=0 \\ z= 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x=0 \\ y=1 \\ z= 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix}x= 0 \\y= 0 \\ z=1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ; Jetzt klarer warum das die Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ sind ?
03.06.2005, 23:21	Tovok7	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke fuer deine Antwort! Nur leider scheint sie mir nicht viel zu helfen. Ich weiss doch, dass diese drei Vektoren die Standardbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ sind und wieso es Einheitsvektoren sind. Was ich nicht weiss ist, wie ich einen Vektor des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , der das Ergebnis einer linearen Abbildung (h) ist, als Bild dieser Einheitsvektoren darstellen soll. Falls niemand versteht was ich meine, muss ich evtl. die komplette Aufgabenstellung wortwoertlich abschreiben.
03.06.2005, 23:25	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, spontan fällt mir da nur ein die z-Komponente immer =0 zu setzen...Aber vielleicht hat deine Aufgabe auch was mit Projektion zu tun. Wie sieht denn die Abbildung aus?
04.06.2005, 00:06	Tovok7	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildungsmatrix sieht so aus: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich vermute ja mittlerweile einen Fehler in der Aufgabenstellung.
04.06.2005, 00:13	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabenstellung könnte schon stimmen, es gibt ja solche Abbildungen. Schreib doch lieber die ganze Aufgabe hier rein.
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04.06.2005, 00:40	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn A eine Abbildungsmatrix ist, sowie $\begin{eqnarray} \vec{x}\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{y}\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , dann ist die Abbildung $\begin{eqnarray} A\cdot\vec{x}=\vec{y} \end{eqnarray}$ eine Abbildung von R^3 in den R^2. Natürlich muss die Matrix A die passende Anzahl Zeilen/Spalten haben. Die Spalten der Abbildungsmatrix entsprechen den Bildern der 3 Einheitsvektoren. Das heißt, wenn du die Matrix A jeweils mit den Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multiplizierst, erhälst du jeweils die erste/zweite/dritte Spalte von A. Du mußt dir nur noch überlegen, wieviel Zeilen/Spalten die Matrix A hat und auf welche Vektoren die Einheitsvektoren abgebildet werden sollen. Wenn deine Lösung stimmt, dann wird der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ übrigens auf den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ abgebildet.
04.06.2005, 00:56	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, wo ist denn das problem bedenke, dass f linear ist, d.h. f(x+y)=f(x)+f(y) und f(ax)=af(x) stelle, die vektoren, deren bilder du nachher als lin.komb der bilder von deinen einheitsvektoren darstellen sollst, also einfach vorher selbst als linearkombination der einheitsvektoren dar. z.b. ist f((1/2/3))=f((1(1/0/0)+2(0/1/0)+3(0/0/1))=f((1/0/0))+2f((0/1/0))+3*f((0/0/1)) das sollte mal klar sein....
04.06.2005, 10:03	Tovok7	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke fuer eure Antworten. Ich glaube LOED war am hilfreichsten. @Calvin, Die Abbildungsmatrix A (siehe oben) hab ich ja und sie hat mit 2,3 doch eigentlich schon den richtigen Typ. Es waere dann ja folgendes als Bild der Einheitsvektroen dargestellt: $\begin{eqnarray} h\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}=3\cdot h\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+4\cdot h\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+5\cdot h\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 26 \\ 62 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ab dem zweiten Gleichheitszeichen koennte ich mir dann ja eigentlich sparen, oder?
04.06.2005, 11:43	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sicher, das berechnen bringt dir nix mehr, dass hättest du auch gleich machen können, zumal du da noch eine 2 statt einer 3 geschrieben hast, richtig gerechnet hast du aber trotzdem mit 3. kannst mal noch editieren. kannst nun auch allgemein einen beliebigen vektor als allgemeine linearkombination abbilden...... immer an die linearität denken!
07.06.2005, 11:53	Moeki	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenfassung: Die Basis bezüglich der Eingabe ist die Standardbasis des R3, die Basis bezüglich der Ausgabe ist die Standardbasis des R2. Du brauchst also nur den Vektor h mit der Abbildungsmatrix multiplizieren.

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