Dim Hom(V,W)

04.06.2005, 01:00

phi

Dim Hom(V,W)

Wenn man zeigen soll, dass wenn dim(V)=n und dim(W)=m ist, der Vektorraum Hom(V,W) die Dimension nm hat, reicht da als Begründung folgender Satz:

Es gibt m Möglichkeiten ein n-Tupel von Vektoren aus V in W abzubilden, also hat Hom(V,W) die Dimension nm. ?

04.06.2005, 11:07

gast1

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Deine Begründung verstehe ich spontan nicht, aber wenn du weißt, dass
$\begin{eqnarray*} \text{Hom}(V,W)\simeq K^{m\times n} \end{eqnarray*}$ gilt, bist du ja fertig. Und ich denke mal, dass das bekannt ist, oder?

04.06.2005, 11:15

phi

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Zu zeigen dass
$\begin{eqnarray*} \text{Hom}(V,W)\simeq K^{m\times n} \end{eqnarray*}$ gilt,

ist die nächste Aufgabe...

04.06.2005, 11:16

Tobias

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Denk an Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen und an die Tatsache, dass eine lin. Abbildung eindeutig durch die Bilder von Basisvektoren bestimmt ist.

04.06.2005, 11:31

phi

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Also V hat n Vektoren als Basis, die Bilder von diiesen kann man als Linearkombinationen mit m Komponenten über die Basis von W darstellen.

Komm ich der Sache näher?

04.06.2005, 12:19

Anirahtak

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Hallo phi,

ich würde schon sagen, dass du der Sache näher kommst. Versuche doch mal eine Basis dieses Vektorraums zu konstruieren.
Wenn du n*m Abbildungen suchst, sollte es mit deinen bisherigen Überlegungen nicht allzu schwer sein die möglichen Kandidaten zu finden.
Dann ist halt noch lin. unabh. und Erzeugendensystem zu zeigen.

Gruß
Anirahtak

04.06.2005, 12:48

phi

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Also, zu jeder linearen Abbildung f, gibt es zu jeder Basis von V und jeder Basis von W genau eine Matrix die f beschreibt. Also mn Matrizen.

Da ich von Basen ausgehe, folgt doch lin. unabh. & Erzeugendensystem von selbst?

04.06.2005, 13:03

Anirahtak

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Das ist immer noch ein wenig "umgangssprachlich".

Ich suche eine Basis von Hom(V,W) - mein Vorschlag:

Sei $\begin{eqnarray*} \{ v_1, \ldots , v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V und $\begin{eqnarray*} \{ w_1,\ldots , w_m\} \end{eqnarray*}$ Basis von W.
Dann definiere
$\begin{eqnarray*} \phi_{i, j} \in Hom(V,W) : \phi_{i,j}(v_i)=w_j, \phi_{i,j}(v_k)=0 \ \mathrm{mit}\ k\neq i \end{eqnarray*}$

Das sind n*m Abbildungen, von denen ich behaupte, dass sie eine Basis von Hom(V,W) sind.
Versuche das zu zeigen.

Gruß
Anirahtak

04.06.2005, 14:17

phi

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Betrachte eine Linearkombination die Null ergibt:

$\begin{eqnarray*} \phi_{ij}(v_i)=a_{1j}w_1 + a_{2j}w_2 + ... + a_{mj}w_m = 0 \end{eqnarray*}$ ,

da w1,...,wm linear unabh. sind, müssen alle Koeffizienten 0 sein, also

$\begin{eqnarray*} a_{1j}= a_{2j}w_2 = ... = a_{mj} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Also sind alle m Zeilen der Darstellungsmatríx von $\begin{eqnarray*} \phi_{ij} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

$\begin{eqnarray*} \phi_{ij} \end{eqnarray*}$ ist ein Erzeugendensystem, da alle $\begin{eqnarray*} v_{ij} \end{eqnarray*}$ ´s durch Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ ´s dargestellt werden können.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \phi_{ij} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von Hom(V,W).

Irgendwas stimmt da nicht, stimmt´s ?

04.06.2005, 14:45

Anirahtak

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Hallo,

ich habe das Gefühl, dass du den falschen Vektorräumen argumentierst.

Zitat:

Original von phi
$\begin{eqnarray*} \phi_{ij}(v_i)=a_{1j}w_1 + a_{2j}w_2 + ... + a_{mj}w_m = 0 \end{eqnarray*}$ ,

Das ist doch falsch. Ich habe doch definiert, dass $\begin{eqnarray*} \phi_{ij}(v_i)=w_j \end{eqnarray*}$ ist verwirrt

Für die lineare Unabhängigkeit ist doch zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^m~\alpha_{i,j} \phi_{i,j}=0 \end{eqnarray*}$
[wobei die 0 auf der rechten Seite die Abbildung ist, die alles auf die 0 abbildet],
daraus folgt, dass alle $\begin{eqnarray*} \alpha_{i,j}=0 \end{eqnarray*}$ sind.

Um das zu zeigen, könntest du jetzt die Abbildung links und die Abbildung rechts an den Stellen v_i mit i=1,..., n auswerten.
Ist das verständlich?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi_{i,j} \end{eqnarray*}$ ist ein Erzeugendensystem, da alle $\begin{eqnarray*} v_{ij} \end{eqnarray*}$ ´s durch Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ ´s dargestellt werden können.

Das ist doch auch nicht so richtig. Du sollst doch zeigen, dass diese $\begin{eqnarray*} \phi_{i,j} \end{eqnarray*}$ eine Basis von Hom(V,W) sind. Das heißt, dass ich jede Abbildung f in Hom(V,W) als Linearkombination
$\begin{eqnarray*} f=\sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^m~ f_{i,j} \phi_{i,j} \end{eqnarray*}$ mit best. f_{i,j} schreiben kann.

Zitat:

Irgendwas stimmt da nicht, stimmt´s ?

Stimmt. Aber versuche es jetzt noch mal.
Möglicherweise hast du auch das richtige gemeint, aber sehr verkürzt bzw. falsch hingeschrieben...

Gruß
Anirahtak

04.06.2005, 14:55

phi

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Danke,

Ich komm´noch ein bisschen mit den Anschauungsebenen durcheinander. Ich schau´s mir jetzt noch mal in Ruhe an...

06.06.2005, 17:01

Anirahtak

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Benutzer phi möchte keine privaten Antworten empfangen

Dann kann ich dir auf deine PN auch nicht antworten. Also stelle deine Frage doch hier.

Gruß
Anirahtak

06.06.2005, 19:23

phi

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Sorry, hatte Pn-aktivierung bei den Einstellungen übersehen.
Hab versucht folgendes umzusetzen:

Zitat: ' Um das zu zeigen, könntest du jetzt die Abbildung links und die Abbildung rechts an den Stellen v_i mit i=1,..., n auswerten.'

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^m~a_{ij} \phi_{ij}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^m~a_{ij}w_j=0 \end{eqnarray*}$ , muß aber gestehen, dass ich nicht weiß was ich da mache.

Sähe eine Basis von Hom(V,W) so aus:

$\begin{eqnarray*} B_{Hom(V,W)}= \begin{pmatrix} \phi_{11} & 0 & ... & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & \phi_{22} & ... & 0 & 0 & ... & 0 \\ .. & .. & .. & .. & .. & .. & .. \\ 0 & 0 & ... & \phi_{nn} & \phi_{n,n+1} & ... & \phi_{nm} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zum ersten Mal seit langem (ver)zweifele ich an mir selbst.. Hilfe

06.06.2005, 21:53

Anirahtak

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Hallo phi,

Zitat:

Original von phi
Zum ersten Mal seit langem (ver)zweifele ich an mir selbst.. Hilfe

Dazu gibt es nun wirklich keinen Grund! Kopf hoch.

Um zu zeigen, dass diese Abb. lin. unabh. sind, müssen wir doch zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^m~a_{ij} \phi_{ij}=o \Rightarrow a_{ij}=0 \ \ \forall i,\ j \end{eqnarray*}$
wobei o die Nullabbildung ist.

Jetzt haben wir links und rechts eine Abbildung stehen, die wir im Punkt v_i auswerten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^m~a_{ij}\phi_{ij}(v_k)=o(v_k)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt stellen wir fest, dass $\begin{eqnarray*} \phi_{ij}(v_k) \end{eqnarray*}$ fast immer 0 wird. Es bliebt übrig:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^m~a_{kj}w_j=0 \end{eqnarray*}$

Und damit dürfte das gröbste Überstanden sein.

Alles klar?

Gruß
Anirahtak

EDIT: Was du am Schluss geschrieben hast, ist keine Basis, sondern eine darstellenden Matrix, deren Koeffizienten ja wieder darstellende Basen sind... also alles viel zu kompliziert!

06.06.2005, 22:23

phi

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Hallo Anirahtak,
Danke für die Antwort, es wird mit langsam klarer
...
Es bliebt übrig:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^m~a_{kj}w_j=0 \end{eqnarray*}$ , und da die $\begin{eqnarray*} w_j \end{eqnarray*}$ ´s ja schon linear unabhängig sind, kann hier nur 0 rauskommen wenn $\begin{eqnarray*} a_{k1} =...=a_{km}=0 \end{eqnarray*}$ .

Und die Basis ist dann einfach $\begin{eqnarray*} B= \phi_{ij} \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2005, 20:26

Anirahtak

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Genau, so ist die Argumentation richtig. Und wenn du das für alle k machst, dann müssen alle Koeffizienten =0 sein und es ist lin. unabh.

Eine Basis ist doch im Normalfall eine Menge und nicht nur ein Element.

Wenn du gezeigt hast, dass es auch en Erzeugendensystem ist, dann ist die Basis

$\begin{eqnarray*} \{\phi_{ij}:\ 1 \leq i\leq n, 1\leq j \leq m\} \end{eqnarray*}$

Gruß
Anirahtak

09.06.2005, 12:15

phi

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Hallo,

Zu zeigen ist, dass jede Abbildung f in Hom(V,W) als Linearkombination
$\begin{eqnarray*} f=\sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^m~ f_{i,j} \phi_{i,j} \end{eqnarray*}$ mit geeigneten $\begin{eqnarray*} f_{i,j} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann.

Irgendwo müsste hier doch eine surjektive Abbildung stecken mit der ich zeigen könnte das die angenommene Basis tatsächlich ein Erzeugendensystem ist. Aber ich komm wieder mit den Abbildungsebenen wieder durcheinander.

Gruß phi

11.06.2005, 11:02

Anirahtak

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Zitat:

Original von phi
Zu zeigen ist, dass jede Abbildung f in Hom(V,W) als Linearkombination
$\begin{eqnarray*} f=\sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^m~ f_{i,j} \phi_{i,j} \end{eqnarray*}$ mit geeigneten $\begin{eqnarray*} f_{i,j} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann.

Ganz genau, das ist zu zeigen.
Mach es doch nicht über den Umweg über eine surjektive Abbildung, sondern zeige es direkt.

Wir nehmen jetzt das f aus Hom(V,W). Ein Vektorraumhomomorphismus wir eindeutig durch die Bilder der Basis festgelegt:
$\begin{eqnarray*} f(v_1)=f_{11}w_1+f_{12}w_2+\ldots+f_{1m}w_m\\ f(v_2)=f_{21}w_1+f_{22}w_2+\ldots+f_{2m}w_m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(v_n)=f_{n1}w_1+f_{n2}w_2+\ldots+f_{nm}w_m \end{eqnarray*}$

Jetzt suchen wir eine Linearkombinatione der $\begin{eqnarray*} \phi_{ij} \end{eqnarray*}$ , die die Basiselement v_i auf die gleichen Bilder abbildet.
Mein Vorschlag wäre:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~ \sum_{j=1}^m~f_{ij}\phi_{ij} \end{eqnarray*}$
mit den f_{ij} die ich oben definiert habe.

Und damit lässt sich also jede Abbildung als Linearkombination schreiben. Die Menge ist also ein Erzeugendensystem von Hom(V,W). Da sie auch lin. unabhängig ist, handelt es sich um eine Basis.
Die Basis hat nm Elemente, also ist die Dimension nm.

Gruß
Anirahtak

11.06.2005, 14:12

phi

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Hallo Anirahtak,

Vielen,vielen Dank erstmal. Mit Zunge

Und das diese Basis isomorph zu K hoch mxn ist ergibt sich doch dann von selbst..also

$\begin{eqnarray*} \text{Hom}(V,W)\simeq K^{m\times n} \end{eqnarray*}$ .

Naja, nicht ganz von selbst.
Seien wieder {v1,...,vn} und {w1,...,wm} Basen von V bzw. W, diese sind isomorph zu den Basen von K^n bzw. K^m, also zu den Einheitsmatrizen {e1,...,en} bzw. {e1,...,em}.
Daraus folgt das es für jede Abbildung von V nach W genau eine Abbildung von K^n nach K^m gibt. Dies ist wiederum eine bijektive Abbildung. Eben

$\begin{eqnarray*} \text{Hom}(V,W)\simeq K^{m\times n} \end{eqnarray*}$ .

Fehlt da noch ein Zwischenschritt ?

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