Fragen zu den Grundlagen der Stochastik

04.06.2005, 13:36

bellis_prennis

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Fragen zu den Grundlagen der Stochastik

Hallo Zusammen

Ich habe riesige Proleme mit der Stochastik, leider verstehe ich nicht einmal die Grundlagen.

Erstes Problem:
Was bedeutet folgendes:
P{X=x}

Dann was verstehe ich (im Allgemeinem) unter einer Binominalverteilung und einer Poissonverteilung, mit den mathematischen Deffinitionen meines Skriptes kann ich leider nichts anfangen. Ach ja und eine Laplac-Verteilung gibt es auch noch.
Ich fürchte ich habe nicht ein Wort von alldem verstanden. Wenn es hier jemanden gibt der mir wenigsten ein paar Grundlagen erklären könnte wäre ich unendlich dankbar dafür!! Mit Zunge

Mit Zunge

Gruß bellis

04.06.2005, 13:59

JochenX

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hallo, das ist schwer dir das zu erklären, wenn du laut deiner eigenen aussage gar nix verstehst...
vielleicht sollten wir erstmal erfahren, WAS DU DENN WEIßt!

sagt dir der begriff, ZUFALLSVARIABLE etwas? denn X aus P(X=x) ist genau so eine ZV

mfg jochen

04.06.2005, 14:05

bil

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also will man einen anfang machen, wenn ich später noch zeit habe schreibe ich es nochmal ausführlicher.
zum $\begin{eqnarray*} P\{X=x\} \end{eqnarray*}$ bedeutet die wahrscheinlichkeit das deine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ den wert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ annimmt. zum beispiel beim würfel kann die zufallsvariable die werte(zahlen vom würfel) $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ annehmen. d.h $\begin{eqnarray*} P\{X=1\} \end{eqnarray*}$ steht also für die wahrscheinlichkeit das man eine eins würfelt. also $\begin{eqnarray*} P\{X=1\}=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ . für was die zufallsvariable genau steht wird in der aufgabenstellung immer gesagt. in meinem beispiel war die zufallsvariable die augenzahlen vom würfel. hätte genauso gut auch sagen können das die zufallsvariable für die anzahl der sechsen steht. d.h.
$\begin{eqnarray*} P\{X=2\} \end{eqnarray*}$ wäre dann die wahrscheinlichkeit 2 sechsen zu würfeln.
sollte noch was dazu unklar sein dann kannst ja nochmal nachfragen oder auch mal hier reinschaun http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable .

dann laplace experiment bedeutet das alle elementarerreignisse die selbe wahrscheinlichkeit haben. beste bsp ist da wohl wieder der würfel. jede zahl zu würfeln hat die selbe wahrscheinlichkeit und zwar $\begin{eqnarray*} 1/6 \end{eqnarray*}$ . münzwurf ist auch ein laplace experiment. hier wieder ein guter link dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinl...ace-Experimente .

binomialverteilung und poissonverteilung ist mir jetzt gerade zu viel aufwand zu erklären aber wie gesagt sollte ich später noch zeit haben mache ich es eventuell. aber ich geb dir schonmal gute links dazu
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
http://de.wikipedia.org/wiki/Poissonverteilung

04.06.2005, 14:12

bellis_prennis

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mhhh

also ich weiß das man bei einem homogenen Würfel davon aus geht, dass die Wahrscheinlichkeit z.B ein 6 zu Würfel 1/6 ist, die Wahrscheinlichkeit ein grade Zahl zu Würfeln ist 1/2. Das ist mir auch noch logisch.

Zur Zufallsvariablen: sind das die möglichen Ergebnisse? oder das eintretende Ereigniss?

Wie gesagt ich habe wirklich nichts verstanden traurig

traurig

Gruß bellis

04.06.2005, 14:15

JochenX

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Zitat:

Zur Zufallsvariablen: sind das die möglichen Ergebnisse? oder das eintretende Ereigniss?

eine (reelle) zufallsvariable ist eine abbildung, die jedem elementarereignis eine reelle zahl zuordnet.

also z.b. jedem würfelergebnis einfach die augenzahl, wie bei bil.

mfg jochen

04.06.2005, 14:47

bellis_prennis

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Danke. Zmindest die Zufallsvariable habe ich verstanden. Idee!

Idee!

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04.06.2005, 14:50

JochenX

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was ist dir dann noch unklar?

bil hat doch eigentlich alles gesagt, bzw. verlinkt!

04.06.2005, 16:13

Leopold

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Hier steht auch ein bißchen etwas zu dem Thema.

04.06.2005, 19:46

bellis_prennis

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Ein Prolem habe ich noch mit der Berechnung von Erwartungs Werten, wobei ich in meiner Aufgabe meines erachtens nach nur einen X-Wert habe, also keine Summe über X bilden kann.

Ansonsten Danken, für die promte Hilfe :-)

04.06.2005, 21:19

bil

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poste am besten mal die aufgabe.... wenn deine zuvallsvariable wirklich nur einen wert annehmen kann dann ist der erwartungswert auch dieser wert Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg bil

04.06.2005, 22:25

bellis_prennis

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Für die Direktwahl eines Bürgermeisters stehen zwei Kandidaten A und B zur Wahl. Weil die Wähler noch unentschlossen sind, haben beide die gleiche Chancen gewählt zu werden. Der Kandidat A willl die Wahl unbedingt gewinnen und verspricht daher einer Minderheit vo 0,5% aller Wähler finanzielle Vorteile, falls er gewinnt. Dies führt dazu, dass die Minderheit ihn geschlossen wäählt, während die restlichen Wähler weiterhin unendschlossen sind und (unabhänig voneinander) den Kandidaten A mit Wahrscheinlichkeit 1/2 wählen. Um festzustellen, welchen Einfluß das Wahlversprechen hat, bestimme man die Wahrscheinlichkeit für einen Wahlsieg von A (d.h. er bekommt mehr Stimmen als B) für 3 Szenarien: Kleinstadt 5000 Wähler (das genügt, wenn ich es für eine kann)
Hinweis: Die Anzahl X der Unentschlossenen, die A wählen, ist B(n,1/2)-verteilt. Es soll die Normalapproximation der Binomialverteilung verwendet werden.

Aslo für E(X) habe ich mir einen Wert zurecht getüfftelt, doch nun scheitere ich an der Normalapproximation.
Eventuell sollte ich auch einmal darauf Hinweisen, dass ich Statistik ausschließlich mit Excel gelernt habe und Übungen auch nur mit Excel lösen und abgeben darf. Diese Aufgabe soll allerdings ohne Excel-Formeln, wohl aber in Excel gelöst werden.

04.06.2005, 22:42

sqrt(2)

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Was weißt du denn über Binomialverteilungen?
Aus deiner Aufgabe kannst du ablesen, dass

$\begin{eqnarray*} n&=&5000\\p&=&0.5\\\mu&=&0.005n+0.995(n\cdot p)=2512.5\\\sigma&=&\sqrt{0.995np(1-p)}\approx 35.3 \end{eqnarray*}$

Kennst du die Dichtefunktion der Binomialverteilung oder weißt du, wie man die Wahrscheinlichkeiten von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -Umgebungen berechnet?

[edit]Rechenfehler beseitigt.[/edit]
[edit]... und jetzt wirklich.[/edit]

04.06.2005, 22:44

AD

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Diese Normalapproximation basiert auf dem Zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace und besagt etwa folgendes: Eine B(n,p)-binomialverteilte Zufallsgröße X kann für große n näherungsweise als N(np,np(1-p))-normalverteilte Zufallsgröße angesehen werden.

p=1/2 ist hier klar. Was du noch klären musst ist die Anzahl n der unentschlossenen Wähler, und kannst dann gemäß P(X>g) die Siegwahrscheinlichkeit für A bestimmen. Die notwendige Grenze g für die erforderliche Anzahl von unentschlossenen Wählern, die A für einen Sieg braucht, lässt sich natürlich auch den Angaben der Aufgabe entnehmen.

P.S.: sqrt(2), du irrst: Nicht alle 5000 Wähler sind unentschlossen! Zumindest beim $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ hast du das nicht berücksichtigt.

05.06.2005, 00:11

AD

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Rechenfehler ist leider nicht beseitigt, sondern quantitativ sogar verschlimmert worden. Es muss richtig lauten $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{0.995np(1-p)} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \mu=2512.5 \end{eqnarray*}$ .

05.06.2005, 00:13

sqrt(2)

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Natürlich... Hammer

Hammer

Vielen Dank, wird korrigiert.

[edit]Hehe, ich habe dein Edit von vorhin gar nicht gesehen... Hätte ich es, wäre mir so ein grausamer Fehler wenigstens nicht unterlaufen...[/edit]

[edit]Wir sollten uns nicht via Edits unterhalten... Das letzte hätte ich fast schon wieder übersehen. smile

smile

Naja gut, ich merke, dass ich vielleicht ins Bett gehen sollte und das wohl auch schon vor 3/2 Stunden hätte machen sollen.[/edit]

05.06.2005, 12:13

bil

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da bin ich wohl etwas spät dran mit antworten, wurde wohl schon alles gesagt. wollte aber noch erwähnen das übrigens

$\begin{eqnarray*} \mu&=&E(X)\\\sigma&=&Standardabweichung\\\sigma^2&=&Varianz \end{eqnarray*}$

ist,könnte ja sein das er das nicht unbedingt weiss. und das solltest er auch wissen(steht zwar in dem link aber ich erwähne es trotzdem nochmal):
bei der binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ ist der erwartungswert immer $\begin{eqnarray*} E(X)=n\cdot p \end{eqnarray*}$
es könnte jetzt sein das dir

Zitat:

Original von sqrt(2)
$\begin{eqnarray*} \mu&=&0.005n+0.995(n\cdot p)=2512.5 \end{eqnarray*}$

nicht ganz nach $\begin{eqnarray*} n\cdot p \end{eqnarray*}$ aussieht aber es ist genau das nur das noch die sicheren 0.5% dazugerechnet werden, aber das kannst dir ja mal genau überlegen, wenn es nicht klar ist frag einfach nochmal.
mfg bil

05.06.2005, 12:24

bil

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ach ja wenn ich schon den erwartungswert bei der binomialverteilung gebe sollte ich auch die varianz geben. also
$\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(X)=n\cdot p\cdot(1-p) \end{eqnarray*}$
(wie ist eigentlich der boardlatexbefehl für \newline?)

mfg bil

05.06.2005, 12:42

AD

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@bil

Lies dir nochmal den Thread durch, bevor du solches Zeug postest. Das n=5000 ist hier im vorliegenden Fall nämlich nicht der Anzahlparameter der Binomialverteilung, da hat sqrt(2) völlig recht.

@sqrt(2)

Wegen der Edits: Ja, das ist ein Problem bei zeitlich überkreuzenden Beiträgen. Die Moderatoren hier sehen es aber nun mal (auch aus guten Gründen) nicht so gern, wenn ein und derselbe Nutzer mehrere Postings hintereinander im Thread platziert.

05.06.2005, 12:53

bellis_prennis

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Zu nächst einmal ein riesengroßes Danke schön das ihr euch sooo viel mühe gebt!! Mit Zunge

Mit Zunge

Dann noch ein kleiner Tipp...er ist sie ;-)

Und leider hat Sie auch immer noch offene Fragen, doch langsam dämmert mir ein wenig wie es funktioniert.

Also @ sqrt(2): Wo her kommen 0,995 ? verwirrt

verwirrt

@ All: für E(X) habe ich folgendes Ergebniss E(X) = µ = 2.488
für $\begin{eqnarray*} \sigma = \end{eqnarray*}$ 49

Bei der Normalapproximation kommt Null raus, ob das nun an mir oder Excel liegt weiß ich nicht.

Eine Excel Datei kann mn sich hier sicher nicht ansehen, oder ??

Lg
bellis

05.06.2005, 13:04

bil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
@bil
Lies dir nochmal den Thread durch, bevor du solches Zeug postest. Das n=5000 ist hier im vorliegenden Fall nämlich nicht der Anzahlparameter der Binomialverteilung, da hat sqrt(2) völlig recht.

erstmal habe ich den thread durchgelesen und zweiten, habe ich irgendwo behauptet das sqrt(2) unrecht hat ?

es kann schon sein das ich es etwas unglücklich ausgedrückt habe, es sollte nicht der eindruck entstehen das es sich um B(5000,0.5) handelt. ich wollte mit der aussage nur klar machen das sich sqrt den erwartungswert nicht aus den fingern gezogen hat sondern mit der formel n*p gelöst hat, was bellis_prennis eventuell unklar seien könnte aber natürlich nicht muss. also bellis_prennis es ist hier nicht B(5000, 0.5) der fall!!! sollte meine aussage dich irritiert haben, dann poste deine fragen.

05.06.2005, 13:09

bil

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ok, sind wohl doch noch fragen offen.
also sqrt hat die 0.995=99.5% her aus deiner angabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

. es steht dort das 0,5%=0.005 der 5000 wähler schon entschlossen sind. das heisst das noch 99,5% der 5000 unentschlossen sind, und genau um die geht es dann auch nur noch. die 0,5% von den 5000 sind = 0.005*5000. also die hat der kanditat schon sicher in der tasche. es interressieren uns also nur noch die 99,5% von den 5000 sprich 0.995*5000.
poste am bestem mal deine genaue rechnung dann können wir dir auch sagen wo der fehler liegt(falls ich nicht schon wieder etwas falsch gemacht hab).
mfg bil

05.06.2005, 13:18

bil

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Zitat:

Original von bellis_prennis
@ All: für E(X) habe ich folgendes Ergebniss E(X) = µ = 2.488
s

kann es sein das du 0.995*n*p=2487.5 rausbekommen hast? weil dann hast du nur die sicheren wähler vergessen mit einzurechnen. weil 0.005*n wähler hat der kanditat sicher, d.h du musst die noch dazu addieren.

05.06.2005, 13:20

AD

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@bil

Ja, entschuldige, das war dann wohl ein Missverständnis - ich dachte, du beziehst dich auf das von sqrt(2) festgelegte n. Um bellis_prennis nicht mit gleichen Variablenbezeichnungen für unterschiedliche Größen zu verwirren, sollte man dann vielleicht besser von B(m,p) sprechen, mit n=5000 und

m = 0.995 * n

05.06.2005, 13:29

bil

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kein problem arthur... Prost

Prost

das mit B(m,p) wäre wirklich die beste lösung gewesen....
mfg bil

05.06.2005, 13:57

bellis_prennis

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Hilfe

Okay Leute nun bin ich wieder vollständig verwirrt.

Das mit dem P0sten der Rechnung ist wie gesagt schwer da ich mit Excel rechnen muss.
Dies ist ein Teil der vom Prof vorgegebenen Lösung, wobei er mit 8000 rechnete:

Stadt
Gesamtzahl N= 8.000
Erfoderliche Stimmen für A : S(B)= 4001
Anteil der Minderheit = 1,00%
Anzahl der Minderheit M = 80
Anzahl der "Unentschlossenen" n = 7.920
Erfoderliche Stimmen für A von den "Unentschlossen" k = 3.921
Stimmenzahl X der Unentschlossenen für A ist B(n,p)-verteilt mit p = 1/2
Erwatungswert E(X) = µ = 3.960
Standardabweichung SD(X) = Ã = Wurzel [..]= 44
Normalapproximation für P { X e k } H 1- Normvert (….)=81, 26 %
alternative Berechnungen via Standartnormalverteilung
standartisiertes Argument für Normalapproximation : v =Skript Seite 106 Formel 3 =-0,888
Normalapproximation für P { X e k } H $ (-v) 1- Normvert (….)=81, 26 %

So dass ist der Versuch die Lösung aus Excel hier her zu kopieren ich hoffe ihr werde daraus noch schlau.

lg bellis

05.06.2005, 14:43

sqrt(2)

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Wie hier mit der Normalverteilung approximiert wurde, ist für mich nicht ersichtlich, aber ich würde es so machen:

$\begin{eqnarray*} n&=&7920\\p&=&0.5\\\mu&=&0.5\\\sigma&=&\sqrt{np(1-p)}\approx 44.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 3921)&\approx&\Phi\left(\frac{\mu-3921}{\sigma}\right)\\&\approx&\Phi(0.88)\\&\approx&0.8106 \end{eqnarray*}$

Ich habe ein bisschen genauer gerundet als es in deiner Lösung gemacht wurde, daher die Differenz. $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ ist die standardisierte Verteilungsfunktion, die Integralfunktion der Dichtefunktion mit der unteren Grenze $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , die kumulierte Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ eben.

05.06.2005, 14:46

bil

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was hat dich genau irritiert? die lösung vom prof oder mein voriges posting? sollte es die lösung vom prof sein dann sag wo genau dir was unklar ist(oder ist alles unklar?), weil vom prinzip ist es genau das gleiche wie wir gemacht haben, nur das der prof jetzt neue variablen mit anderen werten benutzt und sich nicht an unsere B(m,p) abmachung hält Augenzwinkern

Augenzwinkern

also ich fang mal mit den anfängen vom prof an.
das heisst deine alte aufgabe vs neue aufgabe: (ich übernehme jetzt die variablen vom prof):links alte aufg, rechts neue:
$\begin{eqnarray*} N&=&5000~~ |~~ 8000 \\entschlossene.w.&=&5\%=0.005 ~~ |~~ 1\%=0.01\\ unent.w.&=& 99,5\%=0.995~~ |~~ 99\%=0.99\\ n&=&0.995 \cdot 5000~~ |~~ 0.99\cdot 8000=7920\\\mu&=&0.995\cdot 5000\cdot p~~|~~ 0.99\cdot 8000 \cdot p=n\cdot p= \end{eqnarray*}$

dein prof hat den erwartungswert von B(7920,p) genommen das heisst die sicheren 1% hat er nicht dazu addiert. wir hingegen haben vorher die sicheren 0,5% + erwartungswert von B(4975,p) = unseren kompletten erwartungswert gerechnet.

05.06.2005, 14:53

bil

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also ich bekomme auch 0.8126479816 wie der prof.

05.06.2005, 15:09

sqrt(2)

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Das bekommt man auch, wenn man die Standardverteilung nur auf zwei signifikante Stellen rundet. Es ist dann allerdings Unsinn, die Wahrscheinlichkeit auf mehr als zwei signifikante Stellen anzugeben.

05.06.2005, 15:10

bil

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hier meine rechnung die dich vielleicht interessieren könnte:
$\begin{eqnarray*} P(3791 \leq X \leq 7920)= P\left(\frac{9720-0.5-\mu}{\sigma}\leq X\leq\frac{3791+0.5-\mu}{\sigma}\right)=\Phi(?)-\Phi(?)=0,8126\dots \end{eqnarray*}$
sqrt diesmal hast du glaube ich aber einen fehler bei der standartiesrung drin. du hast $\begin{eqnarray*} \mu-3921 \end{eqnarray*}$ gerechnet oder zumindestens geschrieben, muss aber heissen $\begin{eqnarray*} 3921-\mu \end{eqnarray*}$ . und du hast vergessen das es eine approximation von der binomialverteilung ist für die diese 0.5 regel gilt.
mfg bil

ps: meins kann man natürlich auch direkt mit P(X<g) lösen.

05.06.2005, 15:16

sqrt(2)

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Zitat:

Original von bilsqrt diesmal hast du glaube ich aber einen fehler bei der standartiesrung drin. du hast $\begin{eqnarray*} \mu-3921 \end{eqnarray*}$ gerechnet oder zumindestens geschrieben, muss aber heissen $\begin{eqnarray*} 3921-\mu \end{eqnarray*}$ .

Ich habe die Gegenwahrscheinlichkeit ausgerechnet und das nicht dazugeschrieben, denn $\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ . Ich prüfe dann ja auch auf $\begin{eqnarray*} P(X\leq 3921) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von bil
und du hast vergessen das es eine approximation von der binomialverteilung ist für die diese 0.5 regel gilt.

Wie bitte?

05.06.2005, 15:25

bil

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Ich habe die Gegenwahrscheinlichkeit ausgerechnet und das nicht dazugeschrieben, denn $\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ . Ich prüfe dann ja auch auf $\begin{eqnarray*} P(X\leq 3921) \end{eqnarray*}$ .

ok diesmal habe ich es nicht genau genug durchgelesen.
sorry meine schuld.

Zitat:

Zitat:

Original von bil
und du hast vergessen das es eine approximation von der binomialverteilung ist für die diese 0.5 regel gilt.

Wie bitte?

http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung
genau unter Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung.

Zitat:

Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert um eine bessere Approximation bei einer geringen Standardabweichung Ã gewährleisten zu können. Dies nennt man auch Stetigkeitskorrektur. Nur wenn Ã einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.

mfg bil

05.06.2005, 15:28

AD

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Der Wert 0.8126479816 beinhaltet die Stetigkeitskorrektur, ist also gleich
$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{\mu-3920.5}{\sigma}\right)\approx P(X\geq 3920.5) \end{eqnarray*}$ .

Die Genauigkeit ist allerdings maßlos übertrieben, denn es ist nur eine Normalapproximation! Tatsächlich ergibt die direkte Summation mit den "echten" Binomialwahrscheinlichkeiten den tatsächlichen Wert

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3921)=0.8126474484 \end{eqnarray*}$ ,

um mal mit genauso viel Stellen zu vergleichen. Die somit erkennbaren 6 Nachkommastellen Genauigkeit der Approximation sollten aber selbst hohen Ansprüchen genügen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Mit der Stetigkeitskorrektur bin ich wohl etwas spät...

05.06.2005, 15:29

sqrt(2)

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Ich habe gelernt, dass man die Normalverteilung problemlos ohne Korrektur anwenden kann, wenn $\begin{eqnarray*} \sigma>3 \end{eqnarray*}$ , was hier eindeutig der Fall ist. Wenn ich mich nicht ganz täusche, kann man für den Spezialfall p=0,5 sogar immer die Normalverteilung ohne Korrektur verwenden, da hier die Verteilung symmetrisch zu $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist, wie bei der Normalverteilung auch. Die Normalverteilung ist ja nur eine Binomialverteilung mit $\begin{eqnarray*} \mu=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=0.5 \end{eqnarray*}$ .

05.06.2005, 15:34

bil

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Zitat:

Original von bil
also ich bekomme auch 0.8126479816 wie der prof.

hab es einfach aus meinem matheprogramm rauskopiert, wollte nicht die genauigkeit betonen.

@sqrt:
ich habe gelernt das man am sigma>3 überhaupt erst die normalverteilung mit der stetigkeitskorrektur verwenden darf.

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