Trigonometrische Funktion soll bestimmt werden

04.06.2005, 13:38

folgensucher

Trigonometrische Funktion soll bestimmt werden

Hallo.

Hat jemand eine Idee zu dieser Aufgabe:

Es ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f_2(x) = \left(\frac{x}{2} - 2\right)\mathrm e^{\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Ich soll nun eine Gleichung einer trigonometrischen Funktion angeben, deren Graph den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ im ihrem Extrempunkt $\begin{eqnarray*} P_{E_2} \end{eqnarray*}$ berührt und meine Entscheidung begründen.

Wie kann man denn die rechnerisch bestimmen verwirrt

04.06.2005, 13:42

folgensucher

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Also

$\begin{eqnarray*} P_{E_2}(2 | -e) \end{eqnarray*}$

und wenn sie Graphen berühren muss $\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x) = g'(x) \end{eqnarray*}$ gelten.

Aber der Ansatz für dei Trigo-Funktion fehlt mir.

04.06.2005, 13:45

Frooke

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Zunächst einmal musst Du den Extrempunkt der Funktion
$\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$
herausfinden!
Dann soll die trigonometrische Kurve deine ƒ_2-Kurve berühren. Das heisst
$\begin{eqnarray*} \operatorname{trigon.}(x_E)=f_2(x_E) \;\mathrm{und} \;\operatorname{trigon.}'(x_E)=f_2'(x_E) \end{eqnarray*}$

EDIT: Sorry, soweit warst Du schon Augenzwinkern

Nun... Du kannst das so machen... Nehmen wir mal den Sinus...
Also
$\begin{eqnarray*} g(x):=a\sin(bx) \end{eqnarray*}$
Er geht von -1 nach 1, wenn Du ihn bis e erweiterst, kriegst Du
$\begin{eqnarray*} g(x):=\mathrm{e}\cdot\sin(bx) \end{eqnarray*}$
Nun muss der Tiefpunkt der Sinusfunktion noch verschoben werden... (ähm ist P überhaupt ein Tiefpunkt???) EDIT: Ja Augenzwinkern

Also: Da waren wir:
$\begin{eqnarray*} g(x):=\mathrm{e}\cdot\sin(bx) \end{eqnarray*}$
Nun muss der Tiefpunkt der Sinusfunktion noch verschoben werden...
Sinus hat den Tiefpunkt bei
$\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$
Also musst Du b so wählen, dass es deine Funktion den Tiefpunkt für 2 erreicht!

04.06.2005, 14:08

folgensucher

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Alles klar!

Danke. Hab nicht an die Stelle von Maximum des Sinus gedacht Augenzwinkern

.

Eine Gleichung ist also:

$\begin{eqnarray*} g(x) = e\cdot \sin}\left(x - 2 + \frac{\pi}{2}\right) - 2e \end{eqnarray*}$

04.06.2005, 14:08

folgensucher

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Sry

$\begin{eqnarray*} g(x) = e\cdot \sin\left(x - 2 + \frac{\pi}{2}\right) - 2e \end{eqnarray*}$

04.06.2005, 14:12

iammrvip

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Oder auch:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sin\left(x - 2 + \frac{\pi}{2}\right) - \mathrm e - 1 \end{eqnarray*}$

oder auch

$\begin{eqnarray*} g(x) = \cos(x - 2) - \mathrm e - 1 \end{eqnarray*}$ (macht sich hier übrigens leichter)

.... Big Laugh

04.06.2005, 16:36

Frooke

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@iammrvip: Du hast natürlich vollkommen recht, man muss nicht zwingend das e als «Streckungsfaktor» vorne anfügen... Deine Variante ist natürlich eleganter...

Und weil's so schön ist, eine Zeichnung Big Laugh

Und um nicht zu faul zu sein, hab ich noch die violette Variante hinzugefügt Augenzwinkern

... Das war eigentlich meine Grundidee...

04.06.2005, 17:34

etzwane

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Es gibt sogar einfache trigonometrische Funktionen, bei der auch die zweite Ableitung, also die Krümmung, mit der der Ausgangsfunktion übereinstimmt: f''(2)=e/4 und g''(2)=e/4

Zwei davon sind:

04.06.2005, 19:28

iammrvip

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Zitat:

Original von Frooke
@iammrvip: Du hast natürlich vollkommen recht, man muss nicht zwingend das e als «Streckungsfaktor» vorne anfügen... Deine Variante ist natürlich eleganter...

Und weil's so schön ist, eine Zeichnung Big Laugh

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