Raumkurven - Problem

04.06.2005, 13:01

Markus13

Raumkurven - Problem

Hallo!

Ich hab hier ein Beispiel, bei dem ich fast keinen Anfang finde:

Ein Massenpunkt bewegt sich mit der Zeit t auf der Kurve
$\begin{eqnarray*} \vec{x}(t) = cos(t) * \vec(i) + sin(t)*\vec(j) + (125-\frac{5*t^{2}}{4*\pi^{2}})*\vec(k) \end{eqnarray*}$
wobei:
$\begin{eqnarray*} \vec(i) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec(j) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec(k) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo und mit welcher Geschwindigkeit v passiert er die (x;y)-Ebene? Wie groß ist der tangentielle Beschleunigungsvektor zum Auftreffzeitpunkt?

Den Schnittpunkt mit der (x;y)-Ebene habe ich schon.
Mir fehlt nur der Gedankenschritt, der mir von x(t) auf v(t) hilft.

Soll ich hier die drei Einheitsvektoren als "Konstanten" betrachten und normal ableiten? Habe ich dann v(t)? Und bekomme ich auf dieselbe Art und Weise a(t)?

Danke für jede Hilfe!

04.06.2005, 13:05

iammrvip

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Hallo

So hier:

$\begin{eqnarray*} \vec x(t) = \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 125 - \frac{5t^2}{4\pi^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder eben so:

$\begin{eqnarray*} \vec x(t) = \cos(t)\vec i + \sin(t)\vec j + \left(125 - \frac{5t^2}{4\pi^2}\right)\vec k \end{eqnarray*}$

PS: Würde auch sehr gut in Physikerboard passen.

04.06.2005, 13:46

etzwane

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Zitat:

Soll ich hier die drei Einheitsvektoren als "Konstanten" betrachten und normal ableiten? Habe ich dann v(t)? Und bekomme ich auf dieselbe Art und Weise a(t)?

Ja, genau so machst du das. Du erhältst v(t) durch Ableitung von x(t) nach t, und durch weitere Ableitung nach t die Beschleunigung a(t).

04.06.2005, 14:09

Leopold

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Und hier ein Bild.

04.06.2005, 15:24

sqrt(2)

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Zitat:

Original von etzwane

Zitat:

Soll ich hier die drei Einheitsvektoren als "Konstanten" betrachten und normal ableiten? Habe ich dann v(t)? Und bekomme ich auf dieselbe Art und Weise a(t)?

Ja, genau so machst du das.

Physikalisch kann man das als Anwendung des Unabhängigkeitsprinzips deuten. Du betrachtest einfach die Bewegungen in x-, y- und z-Richtung unabhängig voneinander, so dass du für sie unabhängig voneinander auch Geschwindigkeit und Beschleunigung berechnen kannst.

Eine Frage nebenbei: Was beschreibt diese Kurve? Sie wird in negativer z-Richtung ja langsamer. Wenn das Koordinatensystem nicht gerade etwas eigenwillig angelegt wurde, hat das wohl eher weniger mit der Position einer fallenden Masse zu tun...

04.06.2005, 15:43

etzwane

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Eine Frage nebenbei: Was beschreibt diese Kurve?

Du kennst doch sicher eins dieser modernen "Karussels", wo eine Art sich drehender "Kreisring mit Sitzplätzen" an einem Mittelträger nach oben gezogen/gedrückt wird. Nun stell dir vor, der drehende "Kreisring" fällt unter dem Einfluss der Schwerkraft gleichmäßig beschleunigt nach unten, dann würde eine der darin sitzenden unglücklichen Personen so eine Kurve beschreiben.

04.06.2005, 15:49

sqrt(2)

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Zitat:

Original von etzwaneNun stell dir vor, der drehende "Kreisring" fällt unter dem Einfluss der Schwerkraft gleichmäßig beschleunigt nach unten, dann würde eine der darin sitzenden unglücklichen Personen so eine Kurve beschreiben.

Ja, natürlich, blöder Denkfehler. Natürlich wächst die Geschwindigkeit (bzw. der Betrag der Geschwindigkeit) mit kleiner werdendem z.

Vielen Dank.

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