Aufgaben zu Kugeln Ebenen und Geraden

12.01.2008, 11:21

niccle

Aufgaben zu Kugeln Ebenen und Geraden

Also ich hab da son paar Aufgaben zu rechnen. Und stelle erst nur eine rein, weil die Aufgaben aufeinander aufbauen und ich auch einige alleine lösen kann. Deshalb immer schritt für schritt.

Mein erstes Problem lautet wie folgt: Bestimmen sie die gleichung derjenigen Geraden s, die g als auch h senkrecht schneidet.

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

h: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 11 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So nun weiß ich nicht wie ich vorzugehen hab. ich denke aber das es was mit den Richtungsvektoren zu tun hat. Stimmt das?

12.01.2008, 12:53

20_Cent

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Ja. Schonmal was vom doppelten Lotfußpunktverfahren gehört?
Im Prinzip suchst du den kürzesten Abstand zwischen den beiden Geraden, denn der steht senkrecht auf beiden.
Ich kenne noch eine andere Möglichkeit: Erzeuge eine Ebene, die parallel zu einer der Geraden verläuft, und die die andere Gerade enthält, dann musst du nur noch Abstand zwischen Gerade (bzw. Punkt) und Ebene ausrechnen.
mfG 20

12.01.2008, 13:31

niccle

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Also ich hab mich für deine zweite Fariante entschieden, da ich von einem doppelten lotfußverfahren noch nichts gehört hab. Meine Ebene lautet: $\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 11 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Dann hab ich die Lotgerade aufgstellt die orthogonal zu E ist und durch den Punkt P der Geraden geht. Diese lautet dann: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hab ich den Schnittpunkt der Lotgeraden und der Ebene berechnet der lautet (16/1/8) und dann hab ich den Abstand der beiden Punkte berechnet und der Abstand ist 6. und was hab ich davon jetzt? ich hab ja immer noch keine Gerade s

12.01.2008, 13:58

mYthos

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Die Gleichung der Ebene kann ich nicht nachvollziehen. Sie soll ja eine Gerade zur Gänze enthalten und nicht nur einen Punkt davon. Auch der Abstand stimmt nicht. Diesen könnte man - zur Kontrolle - auch ohne Lotfußpunkte bestimmen.

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Gerade diese Art von Aufgaben wurde hier im Forum schon sehr oft behandelt (Abstand / Lage windschiefer Geraden). Wie wäre es eventuell auch mit der Boardsuche, um auf Lösungsideen zu kommen?

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Bemerkung:
Die Methode des geschlossenen Vektorzuges (wenn bekannt) würde sich auch anbieten.

mY+

13.01.2008, 19:24

niccle

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okay habs jetzt gelöst bekommen. Die Gerade lautet: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 11 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die nächste Aufgabe die mir Probleme bereitet ist: Es gibt einen Punkt P außerhalb von K, so dass alle Tangenten an K durch P die Kugel K jeweils in einem Punkt von k berühren. Bestimmen sie die Koordinaten von P.

K: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z-27=0 \end{eqnarray*}$

13.01.2008, 21:46

riwe

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Zitat:

Original von niccle
okay habs jetzt gelöst bekommen. Die Gerade lautet: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 11 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die nächste Aufgabe die mir Probleme bereitet ist: Es gibt einen Punkt P außerhalb von K, so dass alle Tangenten an K durch P die Kugel K jeweils in einem Punkt von k berühren. Bestimmen sie die Koordinaten von P.

K: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z-27=0 \end{eqnarray*}$

die gerade stimmt.

die nächste aufgabe: was ist denn k im gegensatz zu K verwirrt

14.01.2008, 14:19

niccle

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oh ganz vergessen anzugeben k ist der Schnittkreis von einer Ebene und der Kugel. der schnittkreis lautet: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=25 \end{eqnarray*}$

14.01.2008, 18:01

riwe

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Zitat:

Original von niccle
oh ganz vergessen anzugeben k ist der Schnittkreis von einer Ebene und der Kugel. der schnittkreis lautet: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=25 \end{eqnarray*}$

da hast du noch mehr vergessen unglücklich

das ist kein KREIS sondern eine KUGEL.
kannst du die gleichung der ebene schicken verwirrt

14.01.2008, 19:08

niccle

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mhh. also die aufgabe davor lautete das ich den Schnittkreis von Ebene und Kugel bestimmen sollte
Die Ebene lautet $\begin{eqnarray*} -2x+y+2z=0 \end{eqnarray*}$ und die Kugelgleichung habt ihr ja. ich hab dann den Abstand Mittlepunkt und Ebene berechnet in dem ich die Ebene in Normalform ungewandelt hab. und dann mithilfe des Pythagoras den Schnittkreisradius berechnet der ist 5. Und dann die Hilfsebene aufgestellt um den Mittelpunkt zu bekommen und der ist (0/0/0) und dann hab ich die Gleichung des Schnittkreises aufgestellt. Was hab ich denn falsch gemacht

14.01.2008, 21:19

riwe

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Zitat:

Original von niccle
mhh. also die aufgabe davor lautete das ich den Schnittkreis von Ebene und Kugel bestimmen sollte
Die Ebene lautet $\begin{eqnarray*} -2x+y+2z=0 \end{eqnarray*}$ und die Kugelgleichung habt ihr ja. ich hab dann den Abstand Mittlepunkt und Ebene berechnet in dem ich die Ebene in Normalform ungewandelt hab. und dann mithilfe des Pythagoras den Schnittkreisradius berechnet der ist 5. Und dann die Hilfsebene aufgestellt um den Mittelpunkt zu bekommen und der ist (0/0/0) und dann hab ich die Gleichung des Schnittkreises aufgestellt. Was hab ich denn falsch gemacht

woher soll ich das wissen verwirrt

der mittelpunkt des schnittkreises ist korrekt.
die gleichung des schnittkreises sehe ich nirgendwo unglücklich

zur lösung deines problems. die koordinaten von P zu finden, würde ich so vorgehen:
finde irgendeinen punkt auf dem schnittkreis, lege dort eine tangentialebene an K und schneide sie mit der geraden durch die mittelpunkte von K und k.
ich habe - ohne gewähr $\begin{eqnarray*} P(6/-3/-6) \end{eqnarray*}$ unglücklich

14.01.2008, 23:00

niccle

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is aba doof, ich weiß die z-Koordinate ist zu viel aber was hab ich denn bei der schnittkreisbestimmung falsch gemacht. Bin echt am verzweifeln. unglücklich

14.01.2008, 23:38

riwe

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Zitat:

Original von niccle
is aba doof, ich weiß die z-Koordinate ist zu viel aber was hab ich denn bei der schnittkreisbestimmung falsch gemacht. Bin echt am verzweifeln. unglücklich

auch ich bin schon am verzweifeln.
wie oft soll ich denn noch hinschreiben:
wo ist denn der schnittkreis?
schreib doch endlich einmal deinen kompletten rechenweg hier her.

üblicherweise berechnet man NUR den mittelpunkt des schnittkreises und dessen radius.
eine gleichung des schnittkreises in R3 kannst du nur in parameterform aufstellen,
und dazu würde ich eventuell die boardsuche bemühen, wenn das tatsächlich verlangt sein sollte.
zur lösung deiner aufgabe brauchst du sie nicht unglücklich

edit: um einen beliebigen punkt auf dem schnittkreis k zu finden, mache folgendes:
bestimme den mittelpunkt M von k und dessen radius r. nun wähle irgendeinen einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{v}_0 \end{eqnarray*}$ der in E liegt, z.b mit dem skalarprodukt.

dann gilt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+r\cdot\vec{v}_0 \end{eqnarray*}$

wie es weiter geht, habe ich dir schon weiter oben hingemalt unglücklich

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