Ringhomomorphismen

12.01.2008, 12:55	Tocotron	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringhomomorphismen Hallo, bin gerade dabei mich für ne Prüfung vorzubereiten, doch ab und zu gibs immer wieder mal schwierigkeiten: Prüfen Sie nach, ob die folgenden Abbildungen Ringhomomorphismen sind; dabei sein (r,+,) ein Ring und A eine nicht-leere Menge: a) $\begin{eqnarray} f_1 : R[X] \rightarrow R, wobei f_1 (\sum\limits_{j\in \mathbb{N}}a_j \cdot X^j ):=a_0 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f_2 : R[X] \rightarrow R, wobei f_2 (\sum\limits_{j\in \mathbb{N}}a_j \cdot X^j ):=a_1 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} f_3 : Abb(A,R) \rightarrow R, wobei f_3(g):=g(a)(g\in Abb(A,R)) \text{mit einem festen a} \in A \end{eqnarray}$ Tu mich mit Polynomringen im allgemeinen schon schwer, aber ich seh keinen Unterschied zwischen Aufgabe a und b, außer dem Index. Ich weiß, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt, wenn f(a)+f(b)=f(a+b) und f(a)f(b)=f(a*b). Kann ich a und b so verstehen, das alle Polynome R[X] auf ein Element a in R abgebildet werden. Der Unterschied zwischen a und b, dass einmal auf die Null und einmal auf ein von null verschiedenes element abgebildet wird? Wäre nett, wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen könntet. Wie soll ich die Abbildungen a und b auffassen?
12.01.2008, 13:10	Tocotron	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach nun glaub habe ich es verstanden, das Polynom wird in a auf den Koeffizienten von X^0 und in b) auf den Koeff. von X^1 abgebildet. Stimmt das soweit? Na dann rechne ich mal nach.
12.01.2008, 13:18	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt soweit, überprüfe einfach die Dinge die gelten müssen
12.01.2008, 13:19	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau.
12.01.2008, 13:45	Tocotron	Auf diesen Beitrag antworten »
also a) scheint nen Ringhomomorphismus zu sein, da $\begin{eqnarray} f_1 (\sum\limits_{j=0}a_j X^j) + f_1 (\sum\limits_{j=0}b_j X^j) =a_0 +b_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_1 (\sum\limits_{j=0}a_j X^j + \sum\limits_{j=0}b_j X^j)=f_1(\sum\limits_{j=0}(a_j + b_j )X^j)=a_0 +b_0 \end{eqnarray}$ . Außerdem $\begin{eqnarray} f_1 (\sum\limits_{j=0}a_j X^j) \cdot f_1 (\sum\limits_{j=0}b_j X^j) =a_0 \cdot b_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_1 (\sum\limits_{j=0}a_j X^j \cdot \sum\limits_{j=0}b_j X^j)=f_1(\sum\limits_{j=0}(\sum\limits_{k,l\in\mathbb{N},k+l=j}a_j \cdot b_j )X^j)=a_0 \cdot b_0 \end{eqnarray}$ . Stimmts soweit? b scheint kein Homomorphismus zu sein, da: $\begin{eqnarray} f_2 (\sum\limits_{j=0}a_j X^j) \cdot f_2 (\sum\limits_{j=0}b_j X^j) =a_1 \cdot b_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2 (\sum\limits_{j=0}a_j X^j \cdot \sum\limits_{j=0}b_j X^j)=f_2(\sum\limits_{j=0}(\sum\limits_{k,l\in\mathbb{N},k+l=j}a_j \cdot b_j )X^j)=(a_1 \cdot b_0)+(a_0 \cdot b_1) \end{eqnarray}$ .
12.01.2008, 13:46	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt.
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12.01.2008, 15:28	Tocotron	Auf diesen Beitrag antworten »
c) ist auch kein Ringhomomorphismus, da $\begin{eqnarray} f_3 (g)f_3 (h)=g(a)h(a) \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} f_3 (gh)=g(h(a)) \end{eqnarray*}$ . h(a) ist Element von R. g ist aber eine Abbildung von Abb(A,R) nach R. Ne Bestätigung wär toll, bin jetzt doch noch etwas unsicher.
12.01.2008, 17:01	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Multiplikation auf $\begin{eqnarray} \mathrm{Abb}(A,R) \end{eqnarray}$ ist anders definiert.

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