Eigenwerte |
12.01.2008, 13:22 | AnneK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigenwerte Beweisen oder widerlegen Sie: a) Ist sowohl als auch ein Eigenwert von , dann ist ein Eigenwert von . b) Ist der einzige Eigenwert von , so ist injektiv. Meine Idee: a) stimmt, dies kann man einfach durch Definition nachrechnen. b) stimmt nicht, aber wie kann man dies widerlegen? Danke schon mal für Eure Hilfe. |
||||
12.01.2008, 13:26 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Arbeite mit Matrizen, dann findest du ein Gegenbeispiel. |
||||
12.01.2008, 15:50 | AnneK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir nen Beispiel geben für ne Matrix mit einem Eigenwert für das Gegenbeispiel. Ich finde irgendwie keins. |
||||
12.01.2008, 16:53 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moment mal. Ist das q Absicht? Gilt außerdem ? |
||||
12.01.2008, 17:00 | AnneK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja die können verschieden sein... stimmt die Aussage dann nicht? |
||||
12.01.2008, 17:02 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falls ist, dann stimmt die zweite Aussage (Kern trivial). |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
12.01.2008, 17:04 | AnneK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der zweiten Aussage gibt es ja nur einen einzigen Eigenwert und keine zwei. |
||||
12.01.2008, 17:19 | AnneK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaub da ist nen fehler aufm Übungsblatt... da auch nur von einem einzigen Eigenwert die Rede ist b) Ist der einzige Eigenwert von , so ist injektiv. |
||||
12.01.2008, 17:23 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Argumentation ist in beiden Fällen gleich (Kern betrachten). |
||||
12.01.2008, 18:18 | AnneK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also stimmen beide Aussagen? Und wie meinst du dass mit dem Kern? a) Kann man doch einfach mit und zeigen. b) Keine Ahnung wie du das meinst. |
||||
12.01.2008, 18:31 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist falsch. Verschiedene Eigenwerte haben verschiedene Eigenvektoren. Betrachte als Gegenbeispiel zu a) mit . zu b) Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern der Nullraum ist. Gruß, therisen |
||||
12.01.2008, 20:15 | AnneK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für Deine Hilfe therisen |
||||
12.01.2008, 22:49 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beide Aussagen sind falsch. Als Gegenbeispiel für (a) eignet sich z.B. F = Ein Gegenbeispiel für (b) ist die Nullmatrix. |
||||
13.01.2008, 12:09 | AnneK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was stimmt denn nun? Ich weiß gar nicht mehr was nun stimmt? |
||||
13.01.2008, 12:33 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß nicht, warum du jetzt verwirrt bist, WebFritzi hat nur noch mal zusammengefasst, was ich schon gesagt habe. Nochmal zu b) ist als lineare Abbildung genau dann injektiv, wenn , also genau dann, wenn als einzige Lösung besitzt. Die Gleichung ist aber äquivalent zu . Jede Lösung ist also ein Eigenvektor zu dem Eigenwert . Ist , existiert nach Voraussetzung keine Lösung. Ist , existiert eine Lösung. |
||||
13.01.2008, 15:47 | Fragensteller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab da etwas anderes raus: Falls , dann ist der auch der Eigenvektor im Kern. Falls aber , dann ist nur der Nullvektor im Kern. Somit würde ich bekommen. Das die Abb. dann injektiv ist, wenn . Oder denke ich da falsch |
||||
13.01.2008, 16:59 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nichts anderes habe ich geschrieben. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|