Eigenwerte

12.01.2008, 12:22

AnneK

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Eigenwerte

Kann mir jemand hierbei Helfen?

Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Ist sowohl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} F:V \to V \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} p+q \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} 2F = F+F \end{eqnarray*}$ .

b) Ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ der einzige Eigenwert von $\begin{eqnarray*} F : V \to V \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} F-q \cdot id_V \end{eqnarray*}$ injektiv.

Meine Idee:

a) stimmt, dies kann man einfach durch Definition nachrechnen.

b) stimmt nicht, aber wie kann man dies widerlegen?

Danke schon mal für Eure Hilfe. smile

smile

12.01.2008, 12:26

therisen

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Arbeite mit Matrizen, dann findest du ein Gegenbeispiel.

12.01.2008, 14:50

AnneK

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Kannst du mir nen Beispiel geben für ne Matrix mit einem Eigenwert für das Gegenbeispiel. Ich finde irgendwie keins.

12.01.2008, 15:53

therisen

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Moment mal. Ist das q Absicht? Gilt außerdem $\begin{eqnarray*} p\neq q \end{eqnarray*}$ ?

12.01.2008, 16:00

AnneK

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Ja die können verschieden sein... stimmt die Aussage dann nicht?

12.01.2008, 16:02

therisen

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Falls $\begin{eqnarray*} p\neq q \end{eqnarray*}$ ist, dann stimmt die zweite Aussage (Kern trivial).

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12.01.2008, 16:04

AnneK

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Bei der zweiten Aussage gibt es ja nur einen einzigen Eigenwert $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und keine zwei.

12.01.2008, 16:19

AnneK

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ich glaub da ist nen fehler aufm Übungsblatt... da auch nur von einem einzigen Eigenwert die Rede ist

b) Ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ der einzige Eigenwert von $\begin{eqnarray*} F:V \to V \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} F-p \cdot id_V \end{eqnarray*}$ injektiv.

12.01.2008, 16:23

therisen

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Die Argumentation ist in beiden Fällen gleich (Kern betrachten).

12.01.2008, 17:18

AnneK

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Also stimmen beide Aussagen?

Und wie meinst du dass mit dem Kern?

a) Kann man doch einfach mit $\begin{eqnarray*} F(v) = pv \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(v) = qv \end{eqnarray*}$ zeigen.

b) Keine Ahnung wie du das meinst.

12.01.2008, 17:31

therisen

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Zitat:

Original von AnneK
a) Kann man doch einfach mit $\begin{eqnarray*} F(v) = pv \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(v) = qv \end{eqnarray*}$ zeigen.

Nein, das ist falsch. Verschiedene Eigenwerte haben verschiedene Eigenvektoren. Betrachte als Gegenbeispiel zu a) $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2, x\mapsto Ax \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix}1&0\\0&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

zu b) Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern der Nullraum ist.

Gruß, therisen

12.01.2008, 19:15

AnneK

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Vielen Dank für Deine Hilfe therisen smile

smile

12.01.2008, 21:49

WebFritzi

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Beide Aussagen sind falsch. Als Gegenbeispiel für (a) eignet sich z.B. F = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$ Ein Gegenbeispiel für (b) ist die Nullmatrix.

13.01.2008, 11:09

AnneK

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Was stimmt denn nun? Ich weiß gar nicht mehr was nun stimmt? geschockt

geschockt

13.01.2008, 11:33

therisen

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Ich weiß nicht, warum du jetzt verwirrt bist, WebFritzi hat nur noch mal zusammengefasst, was ich schon gesagt habe. Nochmal zu b)

$\begin{eqnarray*} F-q\cdot\mathrm{id} \end{eqnarray*}$ ist als lineare Abbildung genau dann injektiv, wenn $\begin{eqnarray*} \ker(F-q\cdot\mathrm{id})=\{0\} \end{eqnarray*}$ , also genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} (F-q\cdot\mathrm{id})(x)=0 \end{eqnarray*}$ als einzige Lösung $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ besitzt. Die Gleichung ist aber äquivalent zu $\begin{eqnarray*} F(x)=q\mathrm{id}(x) \end{eqnarray*}$ . Jede Lösung ist also ein Eigenvektor zu dem Eigenwert $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} q\neq p \end{eqnarray*}$ , existiert nach Voraussetzung keine Lösung. Ist $\begin{eqnarray*} q=p \end{eqnarray*}$ , existiert eine Lösung.

13.01.2008, 14:47

Fragensteller

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Ich hab da etwas anderes raus:

Falls $\begin{eqnarray*} p = q \end{eqnarray*}$ , dann ist der auch der Eigenvektor im Kern.

Falls aber $\begin{eqnarray*} p \neq q \end{eqnarray*}$ , dann ist nur der Nullvektor im Kern.

Somit würde ich bekommen.

Das die Abb. dann injektiv ist, wenn $\begin{eqnarray*} p \neq q \end{eqnarray*}$ .

Oder denke ich da falsch

13.01.2008, 15:59

therisen

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Nichts anderes habe ich geschrieben.

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