Herleitung der Ableitung der Umkehrfunktion

05.06.2005, 13:54

king_erni

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Herleitung der Ableitung der Umkehrfunktion

Hallo liebes Forum,

ich soll nächste Woche ein Referat über die Umkehrfunktion und dessen Ableitung schreiben. Was eine Umkehrfunktion ist, hab ich soweit erkannt und kann dies auch erklären, ein Beispiel dafür hab ich auch schon gefunden. Nun aber weiß ich nicht, wie ich die Ableitung der Umkehrfunktion herleiten soll. Ich hab schon ein paar Stunden im Internet rumgesucht, aber kein eindeutige Lösung dabei gefunden.

Könnt ihr mir dabei helfen? Danke schonmal im Vorraus.

05.06.2005, 13:58

brunsi

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RE: Herleitung der Ableitung der Umkehrfunktion
bilde doch einfach die umkehrfunktion und leite die dann ganz normal ab, wie du es bei normalen funktionen auch tun würdest, dabei fasse eben die Umkehrfunktion als normale Funktion auf

denn dann bräuchtest du nur die Ableitung einer ganz normalen funktion darstellen.

05.06.2005, 14:12

king_erni

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das geht leider so_einfach nicht. ich muss schließlich eine allgemeine herleitung darstellen und mich dabei mit differenzierbarkeit usw. auseinander setzen

05.06.2005, 14:24

Ratzikatz der Große

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Umkehrfunktion
Differenzenquotienten bilden:
$\begin{eqnarray*} \frac{f^{-1}(x_0+h) - f^{-1}(x_0)}{(x_0+h)-x} = \frac{f^{-1}(f(y_0 + k)) - f^{-1}(f(y_0))}{f^{-1}(y_0 + k) - f^{-1}(y_0)} = \frac{(y_0 + k) - y_0}{f^{-1}(y_0+k) - f^{-1}(y_0)} \end{eqnarray*}$

Alles klar? Wie geht's jetzt weiter?

Ratzikatz

05.06.2005, 14:27

4c1d

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Wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ deine Funktion ist und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ deine Umkehrfunktion, dann ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y) = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{ \frac{dy}{dx}} \end{eqnarray*}$
Hilt das weiter?

05.06.2005, 14:33

king_erni

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Zitat:

Original von 4c1d
Wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ deine Funktion ist und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ deine Umkehrfunktion,

das verstehe ich soweit ja noch smile

smile

aber:

Zitat:

dann ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y) = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{ \frac{dy}{dx}} \end{eqnarray*}$

ich weiß net, wie du darauf kommst.

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05.06.2005, 14:37

king_erni

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RE: Umkehrfunktion

Zitat:

Original von Ratzikatz der Große
Differenzenquotienten bilden:
$\begin{eqnarray*} \frac{f^{-1}(x_0+h) - f^{-1}(x_0)}{(x_0+h)-x} = \frac{f^{-1}(f(y_0 + k)) - f^{-1}(f(y_0))}{f^{-1}(y_0 + k) - f^{-1}(y_0)} = \frac{(y_0 + k) - y_0}{f^{-1}(y_0+k) - f^{-1}(y_0)} \end{eqnarray*}$

Alles klar? Wie geht's jetzt weiter?

Ratzikatz

also, wenn ich das richtig verstehe, haste erst den differenzenquotienten mit der umkehrfunktion gebildet und dann die normale funktion dort eingesetzt, aber was haste im dritten schritt gemacht?

05.06.2005, 14:39

4c1d

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Kennst du die Schreibweise der Ableitung über den Differentialquotioenten ( $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \end{eqnarray*}$ )? Hast du sowas schonmal gesehen? Ansonsten muss du ggf. den (beschwerlichereren) Weg über den Grenzwert des Differenzenquotienten gehen (wie von Ratzikatz vorgestellt)

05.06.2005, 14:41

king_erni

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gesehen ja, nur ist das schon sehr lange her und ich kann mich an den differenzialquotienten nur ganz schwach erinnern. außerdem soll ich das laut unserem lehrer mit diesem machen

05.06.2005, 14:42

Ratzikatz der Große

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Im dritten Schritt habe ich f^{-1}(f(y)) = y ausgenutzt.

05.06.2005, 14:43

Ratzikatz der Irrtümliche

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$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(y)) = y \end{eqnarray*}$

05.06.2005, 14:46

king_erni

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@ratzekatz: oki, das verstehe ich soweit, warum haste das aber nur im zähler und net im nenner gemacht? und warum haste den differenzialquotienten überhaupt gebildet.
sry, aber ich steh, was das thema angeht, absolut aufm schlauch

05.06.2005, 14:50

Ratzikatz

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Im Nenner geht's ja nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Differenzenquotient verwandelt sich ja in die Ableitung, wenn man den "Unterschied" h bzw k gegen 0 gehen lässt. Und der letzte Term ist gerade 1/(Differenzenquotient), also schon fast das Ziel.

05.06.2005, 14:55

king_erni

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du benutzt also den differenzialquotient, um zu zeigen, dass die ableitung von $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ gleich der von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist, oder?

05.06.2005, 15:09

Ratzikatz der Doofe

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Nicht ganz!

Oben hab ich großen Murks Forum Kloppe

Forum Kloppe

gemacht, also nochmal ausführlich:

Wir starten mit dem Differenzenquotient von $\begin{eqnarray*} f^{-1} (x_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f^{-1}(x_0+h) - f^{-1}(x_0)}{(x_0+h)-x} \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt man $\begin{eqnarray*} x = f(y_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0+h = f(y_0+k) \end{eqnarray*}$ (Warum geht das?) :

$\begin{eqnarray*} \frac{f^{-1}(f(y_0+k)) - f^{-1}(f(y_0))}{f(y_0+k)-f(y_0)} \end{eqnarray*}$

und erhält daraus wegen $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(z)) = z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(y_0+k) - y_0}{f(y_0+k)-f(y_0)} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von f^{-1} an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ erhält man aus dem allerersten Differenzenquotient, wenn h gegen 0 geht,

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{-1}(x_0+h) - f^{-1}(x_0)}{(x_0+h)-x_0} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {} = \lim_{k \to 0} \frac{(y_0+k) - y_0}{f(y_0+k)-f(y_0)} \end{eqnarray*}$

und wogegen geht das jetzt?

05.06.2005, 15:23

king_erni

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1.) das geht wegen der umkehrfunktion. laut der ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y_{0}) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und [latex]x_0+h = f(y_0+k)[/latex

2.) die funktion geht gegen null, aber das kann ja nicht richtig sein, oder?

05.06.2005, 15:44

4c1d

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Zitat:

Original von king_erni
2.) die funktion geht gegen null, aber das kann ja nicht richtig sein, oder?

Ist es auch nicht. Bilde doch mal den Kehrbruch des Terms und schaue, wogegen der konvergiert.

05.06.2005, 15:56

king_erni

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bei mir kommt da immer null raus, ich glaub einfach, dass ich langsam zu blöd dafür bin oder einfach nur derbs aufm schlauch stehe *verzweifeltbin*

05.06.2005, 16:37

4c1d

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Hast du den Kehrwert überhaupt gebildet? Poste den doch mal oder schau genau hin was du dann da stehen hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2005, 17:19

king_erni

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ich habs versucht, aber ich bin einfach zu müde dafür fürchte ich *gähn* mir würde es ja schon reichen, wenn mir hier jemand plausibel darlegt, wie ich genau auf die ableitungsformel komme. mehr brauche ich nicht, verstehen tu ich das dann schon irgendwie von alleine

05.06.2005, 23:53

Mathespezialschüler

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Einen analytisch korrekten Beweis findest du z.B. hier, allerdings glaube ich kaum, dass du damit viel anfangen kannst. Und dein Lehrer wird das auch ganz sicher nicht erwarten.
Hast du schonmal versucht, dir das anschaulich klar zu machen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

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